LINUX.ORG.RU

Зорич. Матан. Задача из первой главы.

 ,


0

3

учебник.

Глава 1. Параграф 3. Упражнения. Упражнение 4. b).

На сколько я понимаю из f^-1(f(A)) = A должна следовать инъективность f. У меня не получается доказать этот факт.

Рассуждаю так.
Определение1. f(A) := все y∈Y т.ч. ∃ x∈A т.ч. y = f(x).
Определение2. f^-1(f(A)) := все x∈X т.ч. f(x)∈f(A).

Положим, инъективность не выполнена, т.е. ∃ y1 = f(x1) = f(x2), при этом x1 <> x2.

Тогда у1 окажется в f(A), поскольку существует, например, x1.

Но тогда и x1 и x2 окажутся в f^-1(f(A)), поскольку они оба лежат в X и для обоих найдётся нужный у = у1∈f(A). Таким образом f^-1(f(A)) = A и без инъективности.

Подскажите пожалуйста, где ошибка в рассуждении?

★★★★★

Тебе сначала надо доказать, что одно следует из второго. Потом, что второе из первого.

Если ты пытаешься доказать инъективность из f^-1(f(A)) = A, то ты на правильном пути. Выбери правильное множество А и пойми, почему условие не выполняется.

tyakos ★★★ ()

Сложно читать что ты написал, но если я правильно понял тебя, то регистрант выше правильно посоветовал выбрать правильное множество А.

Короткая схема доказательства:

  1. Твое утверждение есть конъюнкция левой (L) и правой (R) частей. (L) эквивалентно инъективности, (R) эквивалентно сюръективности. Тебе это нужно доказать.
  2. Для (L) удобно перейти к противоположному утверждению и доказывать ∃A from X: (!inj) => (!L). Если я тебя правильно понял, то ты уже попытался привести верное рассуждение. Далее обращаю твое внимание, что существование такого множества A можно доказать просто приведя пример. Попробуй рассмотреть одноточечные множества.
  3. Доказываем (R) <=> (sur). Тут тоже нужно выбрать правильное множество B.

P.S. Писал в спешке, если что не так - потом подправлю.

aquadon ★★★★★ ()
Последнее исправление: aquadon (всего исправлений: 1)

tyakos, да, инъективность и пытаюсь доказать. Не знаю как лучше писать, попробовал отредактировать. Проблема как раз в том что не могу привести пример множества для которого бы, без инъективности, не выполнялось условие f^-1(f(A)) = A.

aquadon, всё верно, доказываю пункт с инъективностью. Но, возвращаясь к твоему совету, не вижу, как использовать не-инъективность если исходное множество имеет всего один элемент. Тогда ведь отображение будет инъективно в любом случае? Или имелось ввиду что то другое?

Что по поводу «сложно читать» - видимо как то кривовато написал, прошу прощения. Попытался подправить.

AndreyKl ★★★★★ ()
Последнее исправление: AndreyKl (всего исправлений: 1)
Ответ на: комментарий от AndreyKl

Положим, инъективность не выполнена, т.е. ∃ y = f(x1) = f(x2), при этом x1 <> x2.

Для доказательства инъективности множество тебе уже подсказал @aquadon : возьми A = {x1}. Тогда f^-1(f({x1})) = f^-1(y) = {x1, x2}.

Заметь, что f^-1 – НЕ функция, в общем случае.

А теперь докажи в обратном направлении. Нужна будет подсказка – пиши.

tyakos ★★★ ()
Последнее исправление: tyakos (всего исправлений: 2)

На сколько я понимаю из f^-1(f(A)) = A должна следовать инъективность f.

У меня не получается доказать этот факт.

Не получается доказать - приведи конкретный контрпример. А потом вернись к учебнику и прочитай формулировку задачи полностью.

В частности там сказано: для любого A

alpha ★★★★★ ()
Ответ на: комментарий от tyakos

А ошибка у тебя тут:

Но тогда и x1 и x2 окажутся в f^-1(f(A)), поскольку они оба лежат в X и для обоих найдётся нужный у = у1∈f(A). Таким образом f^-1(f(A)) = A и без инъективности.

Кто сказал, что у тебя и x1 и x2 ∈A?

tyakos ★★★ ()
Ответ на: комментарий от aquadon

Твоё терпение вызывает прям таки некоторое восхищение)

AndreyKl ★★★★★ ()
Закрыто добавление комментариев для недавно зарегистрированных пользователей (со score < 50)