Зорич. Матан. Задача из первой главы.

Тебе сначала надо доказать, что одно следует из второго. Потом, что второе из первого.

Если ты пытаешься доказать инъективность из f^-1(f(A)) = A, то ты на правильном пути. Выбери правильное множество А и пойми, почему условие не выполняется.

Сложно читать что ты написал, но если я правильно понял тебя, то регистрант выше правильно посоветовал выбрать правильное множество А.

Короткая схема доказательства:

1. Твое утверждение есть конъюнкция левой (L) и правой (R) частей. (L) эквивалентно инъективности, (R) эквивалентно сюръективности. Тебе это нужно доказать.
2. Для (L) удобно перейти к противоположному утверждению и доказывать ∃A from X: (!inj) => (!L). Если я тебя правильно понял, то ты уже попытался привести верное рассуждение. Далее обращаю твое внимание, что существование такого множества A можно доказать просто приведя пример. Попробуй рассмотреть одноточечные множества.
3. Доказываем (R) <=> (sur). Тут тоже нужно выбрать правильное множество B.

P.S. Писал в спешке, если что не так - потом подправлю.

tyakos, да, инъективность и пытаюсь доказать. Не знаю как лучше писать, попробовал отредактировать. Проблема как раз в том что не могу привести пример множества для которого бы, без инъективности, не выполнялось условие f^-1(f(A)) = A.

aquadon, всё верно, доказываю пункт с инъективностью. Но, возвращаясь к твоему совету, не вижу, как использовать не-инъективность если исходное множество имеет всего один элемент. Тогда ведь отображение будет инъективно в любом случае? Или имелось ввиду что то другое?

Что по поводу «сложно читать» - видимо как то кривовато написал, прошу прощения. Попытался подправить.

Если X состоит из одного элемента, то любое отображение из X инъективно.

Положим, инъективность не выполнена, т.е. ∃ y = f(x1) = f(x2), при этом x1 <> x2.

Для доказательства инъективности множество тебе уже подсказал aquadon : возьми A = {x1}. Тогда f^-1(f({x1})) = f^-1(y) = {x1, x2}.

Заметь, что f^-1 – НЕ функция, в общем случае.

А теперь докажи в обратном направлении. Нужна будет подсказка – пиши.

На сколько я понимаю из f^-1(f(A)) = A должна следовать инъективность f.

У меня не получается доказать этот факт.

Не получается доказать - приведи конкретный контрпример. А потом вернись к учебнику и прочитай формулировку задачи полностью.

В частности там сказано: для любого A

А ошибка у тебя тут:

Но тогда и x1 и x2 окажутся в f^-1(f(A)), поскольку они оба лежат в X и для обоих найдётся нужный у = у1∈f(A). Таким образом f^-1(f(A)) = A и без инъективности.

Кто сказал, что у тебя и x1 и x2 ∈A?

Твоё терпение вызывает прям таки некоторое восхищение)

tyakos, благодарю, понятно.

да, ты права, именно этот момент я упустил.