учебник.
Глава 1. Параграф 3. Упражнения. Упражнение 4. b).
На сколько я понимаю из f^-1(f(A)) = A
должна следовать инъективность f
. У меня не получается доказать этот факт.
Рассуждаю так.
Определение1. f(A) := все y∈Y т.ч. ∃ x∈A т.ч. y = f(x)
.
Определение2. f^-1(f(A)) := все x∈X т.ч. f(x)∈f(A)
.
Положим, инъективность не выполнена, т.е. ∃ y1 = f(x1) = f(x2)
, при этом x1 <> x2
.
Тогда у1
окажется в f(A)
, поскольку существует, например, x1
.
Но тогда и x1
и x2
окажутся в f^-1(f(A))
, поскольку они оба лежат в X
и для обоих найдётся нужный у = у1∈f(A)
. Таким образом f^-1(f(A)) = A
и без инъективности.
Подскажите пожалуйста, где ошибка в рассуждении?