Зачем нужна теория категорий?

Равна нулю видимо

Равна нулю? А чему интеграл от -inf до +inf равен? тоже нулю?

Нет, ты все правильно понял. Включая легкий оттенок конформизма теоркат-фагов, разговоры с которыми мало чем отличаются от общения с какими-нибудь баптистами, адвентистами и прочими сектантами.

-inf до +inf равено 1. На любом другом отрезке равен нулю.

Угу, и получаем неопределенность вида inf * 0

Да, я ступил немного. Ведь вопрос нужно было задать по другому: зачем нужен теоркат, если есть методы построения формальных систем?

Вообще бесконечности не нужны, одна путаница, особенно в теовере.

Нужны. И актуальная, и потенциальная бес-ти.

В реальном мире их нет. Физический мир квантован. С тем же успехом можно изучать и другие воображаемые сущности: драконов там.

В реальном мире

в реальном мире расстояние от Москвы до Киева - длина кратчайшей геодезической на поверхности геоида

Поэтому я и попросил сказать, где именно я неправ и почему.

Если ты берешь случайную величину из континуума, то вероятность ее попадания в произвольный отрезок не будет равна единице. Но ты сможешь сопоставить этой величине точку из отрезка, в какую бы часть континуума она ни угодила.

похоже если считать с бесконечностямя то вменяемого ответа не будет. Если вероятность для любого отрезка больше 0, то в сумме получится больше 1.

годный довод в пользу бесконечностей

вероятность ее попадания в произвольный отрезок не будет равна единице

Вот мне и интересно, почему, если множества равномощные (я забыл, на основании чего вводится понятие меры)

Ваша голова существует в каком-то другом мире?

Теория категорий нужна для того, чтобы формулировать “правильные” определения алгебраических структур. “Правильное” теоретико-категорное прямое произведение далеко не всегда совпадает с наивным теоретико-множественным.

Показал ваше сообщение драконам.

Других нет пока.

Вот мне и интересно, почему, если множества равномощные (я забыл, на основании чего вводится понятие меры)

ну епрст, а мозги совсем лень включить?

мера это скажем площадь или объем, и у двух равномощных множеств они запросто могут быть различны

категория моноидов не является сбалансированной: в ней биморфизм (отображение, одновременно инъективное и сюръективное) не является изоморфизмом (не имеет обратного)

пример такого биморфизма? (да, мне леееееень подумать самому)

а множество всех множеств не определить.

Запросто. Смотри. Определяю множество всех множеств. Вуаля

Запросто. Смотри. Определяю множество всех множеств. Вуаля

http://ru.wikipedia.org/wiki/Парадокс_Рассела

Так тут же написано «Пусть — множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента.», а я определил просто «множество всех множеств»

Там еще Кантор есть

Ага, а если взять мощности всех классов натуральных чисел и сложить, получим мощность действительных, да?

Ну и балабол!

Равномощность вводится на основе биективного отображения каждого элемента одного множество в элемент другого множества. Вероятность от этого никак не зависит.

Почему? :)

взять мощности всех классов натуральных чисел и сложить

и поделить на ноль

Ну видишь, ты сам понимаешь, что глупость сказал.

пример такого биморфизма?

Если гомоморфизм одного моноида в другой суть биективное отображение их множеств (~ инъективное и сюръективное), то оно автоматически (iff) изоморфизм этих моноидов, так что обратное отображение тоже гомоморфизм.

jtootf, наверно, имел в виду, что в категории моноидов эпиморфизм (обобщение сюръективности) не есть сюръективный гомоморфизм, так что стрелка (гомоморфизм) может быть эпиморфизмом и мономорфизмом (обощение инъективности) и при этом не быть изоморфизмом (обобщение биективности, в категории множеств биективное <=> инъективное и сюръективное, тогда как в произвольной категории только изоморфизм => эпиморфизм и мономорфизм, но не обратно).

Более явный пример это категория частично упорядоченных множеств, там уже сам биективный гомоморфизм (в одну сторону) (монотонная функция) может не быть изоморфизмом, например {{1, 2, 3}, {1 < 3, 2 < 3}} в {{1, 2, 3}, {1 < 2, 2 < 3}} — обратная функция уже не монотонна (то есть «биективный гомоморфизм» нужно явно усиливать требованием монотонности обратной).

Перестань уже делить на ноль)

Сразу после того, как ты откажешься от своего бесконечно малого числа.

Вообще, откуда на лор постоянно лезут эти неформалы? За последний месяц было как минимум три «свежих взгляда на науку». Упоротый Напильник со своей торсионщиной эфира, не-помню-кто с идеей о ненужности аксиом, теперь вот ты. Где ваша точка высадки?

В разных формальных системах решение и определение этой задачи может приводить к противоречиям или нет. В теорвере м.б. все хорошо, в то время как в теор. мн-в - все плохо. Поэтому я говорил о «Это высказывание ложно». Гедель и все такое.
Вот интересно почему все повально взялись за теоркат, там нет противоречивых задач и парадоксов?)

раз уж мы на лоре, то я мог бы сказать «man абстракция», но, поскольку ящитаю, что говорить «man что-то-чего-нет-в-манах» - дурной тон, то... ну ты понел.

потому, что мера — это всего лишь счетно-аддитивная функция множества (иногда просто аддитивная), и неизменность меры при биекциях никто не обещал (например, единичный куб биективно отображается на куб с ребром 2, но меры лебега их равны 1 и 8 соответственно)

но я тем не менее понял, о чем ты говоришь:

рассмотрим случайную величину, которая с равной вероятностью принимает в качестве значения *любое* натуральное число

такая случайная величина x афайк не впишется в современную теорию вероятностей, т.к. вероятность принять значение n — обозначим ее P(x=n) — должна быть мерой, в результате как P(x=n) не выбери, P(0<x<inf) будет либо 0, либо inf по счетной аддитивности

но у меня встречный вопрос — как ты собрался физически реализовывать эту случайную величину?

В разных формальных системах решение и определение этой задачи может приводить к противоречиям

Тогда такую формальную систему можно смело выкидывать.

там нет противоречивых задач и парадоксов?

А есть?

Ну... логика 2го порядка еще более абстрактная чем предикатов, но уже не полная ф.с. Такой вот пример.

Вот интересно почему все повально взялись за теоркат, там нет противоречивых задач и парадоксов?

спроси алгебраистов

а я так полагаю, что теоркат — это обычная алгебраическая практика: выяснить «при каких условиях „оно ходит как утка и крякает как утка“ влечет за собой „оно утка“»

А есть?

не может не быть

Тогда такую формальную систему можно смело выкидывать.

прикол в том, что нет

я как-то походил по ссылкам из ссылок, которые jtootf давал кажется прямо на лоре, и нашел интересный вариант: системы с противоречиями, но при этом вывести все что угодно нельзя — т.е. те выводы, которые как-то можно проверить (экспериментально? не помню) остаются верными (т.е. там противоречий не возникает)

попробуй походи по ссылкам из http://en.wikipedia.org/wiki/Universe_(mathematics)

не может не быть

Пример? Пусть даже не в ТК, а в ZF — существование в ней противоречий это открытый вопрос. С точки зрения теории моделей (1, 2) отсутствие противоречий суть непротиворичивость теории, суть наличие для неё модели, оставляя в стороне вопросы о метаматематике в которой работает теория моделей вместе с философскими вопросами рекурсивности (и неразрешимости местами) математического контента по части оснований.

На эту тему ещё Воеводский рассуждал, типа «локальная непротиворечивость при глобальной жопе» :)

С его точки зрения конструктивные теории типов более жизнеспособны в этом плане чем классические теории множеств.

Но фишка в том, что все полезные системы для оснований пока не были уличены в чём-то нехорошем. А на неполноту можно смотреть (следуя Girard) как на аналог проблемы ресурсов в вычислениях — все «хорошие» доказательства в рамках дедуктивной системы для теории сродни вычислениям на машине ограниченной неким верхним числом на ресурсы, так что недоказуемость сентенции Гёделя или сентенции о непротиворечивости сродни существованию задач для которые не хватит ресурсов этого данного ограниченного вычислителя (и сколько не плюсуй аксиом к теории, найдутся «задачи» сложнее — undecidable и всё).

системы с противоречиями, но при этом вывести все что угодно нельзя — т.е. те выводы, которые как-то можно проверить

Если говорить про универсумы — изначально у Мартина-Лёфа была аксиома U : U приводящая к импредикативности и противоречиям, позже её убрали заменив иерархией (куммулятивной или нет) — в хаскеле такая аксиома всё ещё работает, в Agda уже нет, хотя флагом компилятора её можно включить, так и получается — есть вещи которые остаются истинны независимо от неё (как раз «локально»), есть противоречия (Рассела, емнип, получается сделать) исключительно от неё.

Биморфизм, собственно, это морфизм, который одновременно мономорфизм и эпиморфизм. Примером (в моноидах) является вложение моноида натуральных чисел в моноид целых чисел. В теоретико-множественном смысле это не сюрьекция, но в моноидах это эпиморфизм.

Действительно, обозначим это вложение через i. Допустим, есть два морфизма (т.е., гомоморфизма моноидов) f и g из Z (моноида целых чисел) в некоторый моноид X, такие, что fi = gi. Тогда для любого n из Z имеет место одно из двух:

1) n >= 0. Тогда n = i(n') для некоторого n', и f(n) = fi(n') = gi(n') = g(n)

2) n < 0. Тогда -n > 0 и -n = i(n') для некоторого n'. Значит, f(n) = f(n) + 0 = f(n) + g(0) = f(n) + g(-n + n) = f(n) + g(-n) + g(n) = f(n) + gi(n') + g(n) = f(n) + fi(n') + g(n) = f(n) + f(-n) + g(n) = f(n + (-n)) + g(n) = f(0) + g(n) = 0 + g(n) = g(n).

Итого, при любом n, f(n) = g(n). Значит, f = g. По определению, это означает, что i — эпиморфизм.

Это мономорфизм, так как это инъекция.

Это не биекция, и, значит, не имеет обратного отображения.

*любое* натуральное число

Нет, любое вещественное :)

как ты собрался физически реализовывать эту случайную величину?

Никак, это просто мысленный эксперимент

Введение в ZF мн-ва всех мн-в приводит к противоречиям. Когда-нибудь найдут некий всем нужный объект, который не впишется в теоркат. Истории повторяются.

Введение в ZF мн-ва всех мн-в приводит к противоречиям.

Но в ZF нет мн-ва всех мн-в. ZF, NBG и прочие аксиоматизации и появились чтобы разрешить и навсегда отменить противоречия наивных теорий множеств. Можно, конечно, сделать теорию ZF + «мн-ва всех мн-в», но тогда уж можно сразу сделать ZF + absurd — зачем? Останется только выкинуть такую теорию, как я и говорю (разве что есть ещё вариант целенаправленного изучения противоречивых теорий).

Когда-нибудь найдут некий всем нужный объект, который не впишется в теоркат

Так «противоречие» или «не впишется»? 1) TK не обязательно есть альтернатива теории множеств, 2) голая аксиоматическая теория множеств тоже нафиг никому не нужна (все помнят аксиомы ZF?) — есть алгебраический инструментарий, например, в том числе ТК, 3) В теории топосов ТК может быть альтернативой, так как может предоставлять различные категории для проведения интернализаций, но категорию Set из множеств и функций (она же классический топос в котором интернализируется классическая логика высшего порядка над теорией множеств) всё равно никто не отбирает.

Я тут подумал, и решил тебе открыть тайну. Есть множества, у которых при непустоте вероятность строго ноль, без всяких там твоих подозрений на бесконечную малость.