Какой путь необходимо проделать к теории категорий?

лень несовместима с прогрессом, каким бы желательным он ни был, ты или начнешь и бросишь, или скоро забудешь все напрочь из-за переключения внимания

Очень надеюсь увлечься. Это иногда меня спасает.

Что скажете? Какую шикарную литературу по математике вы в своей жизни встречали?

Зорич, «Математический анализ». Винберг, «Курс алгебры». Это для начала.

Нет ли какой-то волшебной книги по математике, которая охватывала бы все сферы?

Нет такой. Математика слишком большая.
Сама по себе теория категорий лишь удобный (в той или иной степени) язык, на котором удобно формулировать те или иные утверждения из самых разных областей математики.
Если хочется «что-нибудь почитать», можно начать с двух вышеуказанных книжек, например.

Скастуй себе квазимото.

Ты теорию категорий выбрал потому что модно среди IT-шников? Почему не теорию групп или случайные процессы?

Спасибо. А что насчёт Фихтенгольца, кстати?

Paolo Aluffi, Algebra: Chapter 0
Одна из лучших книг по абстрактной алгебре. Из плюсов: начнёшь хорошо понимать современные математические абстракции (включая гомологические группы, но это уже ближе к концу), вся книга построена на современном категорном языке (при этом всё объясняется и разжёвывается). Из минусов: на английском (надеюсь, это не остановит, книга дейсвительно стоит того). Алсо сейчас тебе начнут рекомендовать Categories for the working mathematician, но ты их не слушай, тебе пока это рано.

Окей, cast quasimoto.

Ты теорию категорий выбрал потому что модно среди IT-шников? Почему не теорию групп или случайные процессы?

Она мне показалась некой теорией, обобщающей всё. Или мне неправильно показалось?
Ну и да, Haskell же.

Учебник хорош для своего времени написания. Но зачем оно, если:
1) Все нужные темы достаточно полно изложены в Зориче
2) Зорич, на мой взгляд, понятный.

А ещё есть шикарный учебник Лорана Шварца по анализу, но он (опять же на мой взгляд) труднее Зорича, хотя и ещё больше тем охватывает.

А что насчёт Фихтенгольца, кстати?

Советую не тратить на него время, уж слишком много воды, и он довольно устарел ко всему прочему. Лорчую Зорича и Винберга, рекомендованные выше.

Это же уже второй курс, можно бы уже Лидла и Нидеррайтера, например, раз тс любит прикладную алгебру)

Воо, такого мне гугл ещё не выдавал, спасибо! Это после матана или особых знаний там не нужно?

Это после матана или особых знаний там не нужно?

Особых знаний, насколько я помню, не нужно, там всё с нуля. Но вот посидеть подумать придётся довольно много.

Она мне показалась некой теорией, обобщающей всё.

Угу, 42.

Теория категорий - это не панацея, и не высшая стадия математического знания. Это своеобразный язык, формализм, один из, используемый для описания некоторого класса задач. При этом часто одну и ту же задачу можно сформулировать на разных языках. и не факт, что теория категорий приведет тебя к решению быстрее. Или даже скорее непонятно, куда она тебя приведет и можно ли это будет назвать решением.

В математике есть действительно красивые понятия, которые стоит изучать ради самих понятий. Но для них в глубины теории категорий лезть не нужно, тем более ради самообразования это сложно. Нужно читать красивые интересные вводные книжки — Винберга тут упомянули, Кострикина, Зорича, Арнольда, Фоменко.

Арнольда

Btw, а какие существуют годные вводные книги у Арнольда? Я, признаться, не примомню ни одной, кроме совсем уж популярных. Взять ту же «Обыкновенные дифференциальные уравнения», так её только после курса топологии и диф.геометрии можно понять как следует.

Взять ту же «Обыкновенные дифференциальные уравнения», так её только после курса топологии и диф.геометрии можно понять как следует.

Разве? Я может не помню точно, но мне казалось там всё очень красиво и наглядно. Ну то есть векторные поля конечно, а не голые диффуры, ну так это и круто — видно о чём речь на самом деле.

Напомнило: «Итак, другие кафедры посматривают на нас с уважительным пренебрежением. Впрочем, отчасти и с завистью. За последние годы их охватила какая-то лихорадочная любовь к математике. Любовь, я бы сказала, отнюдь не взаимная. Сейчас любую научную работу (тем более диссертацию) принято облекать в математические одежды. Это хороший тон, латынь нашего времени. Чем сложнее примененный аппарат, тем лучше. Они обвешивают свои работы кратными интегралами, кванторами и матрицами, как в свое время купчихи обвешивались драгоценностями. У нас, профессионалов, наоборот: чем более простым аппаратом удалось обойтись, тем лучше. Из этого вовсе не следует, что они неучи и в своем деле не смыслят. Напротив, чисто техническая сторона у них, как правило, на высоте. Это дельные, реальные знания, ничего, кроме уважения, не вызывающие. Но когда они пускаются в математику, обычно это выходит так, как если бы, скажем, Семен Петрович Спивак в своих вельветовых брюках стал танцевать партию принца Зигфрида в балете „Лебединое озеро“. Одна из смежных и по названию родственных нам кафедр особенно лихо пустилась за последние годы в математические пляски.»

Ещё желательно было бы изучить как можно больше сфер математики

я бы рекомендовал почитать Баеца, он офигенный; кроме того, у него есть вдвойне офигенная книжка по той самой теории

Какую шикарную литературу по математике вы в своей жизни встречали?

• Розенфельд Б.А., Замаховский М.П. - Геометрия групп Ли. Симметрические, параболические и периодические пространства
• Sergei Winitzki - Linear Algebra via Exterior Products
• Nathan Carter - Visual Group Theory

ТК обычно нужна некая почва — алгебра, геометрия, логика, физика, CS (что-то из, два — лучше, изначально это были алгебраическая топология, гомологическая алгебра, алгебраическая геометрия и логика). Так что плюсую советчиков разобраться в основах.

Хотя не факт, что _сейчас_ уже нельзя изучать ТК как таковую (как обобщение обычной теории множеств/функций).

Если именно про ТК.

Со стороны CS (раз Haskell) — «Computational Category Theory» (тут ML), «Basic Category Theory for Computer Scientists» Пирса. http://alexott.net/en/fp/books/#sec2. http://mathoverflow.net/questions/4235/relating-category-theory-to-programmin....

Логики — «Топосы: Категоный анализ логики» (перевод, не предполагает знаний ТК), «Introduction to Categories and Categorical Logic» (статья из «New Structures for Physics»).

В общем — «Conceptual Mathematics: a First Introduction to Categories».

Есть ещё статья «Physics, Topology, Logic and Computation: A Rosetta Stone» (тоже из «New Structures for Physics»).

Как справочник / общая книжка — «Awodey Category Theory»:

Why write a new textbook on Category Theory, when we already have Mac Lane’s Categories for the Working Mathematician? Simply put: because Mac Lane’s book is for the working (and aspiring) mathematician. What is needed now, after 30 years of spreading into various other disciplines and places in the curriculum, is a book for everyone else.

What is category theory? As a first approximation, one could say that category theory is the mathematical study of (abstract) algebras of functions.

Before getting down to business, let us ask why it should be that category theory has such far-reaching applications. Well, we said that it’s the abstract theory of functions; so the answer is simply this: Functions are everywhere! And everywhere that functions are, there are categories. Indeed, the subject might better have been called abstract function theory, or perhaps even better: archery.

http://mathoverflow.net/questions/69251/is-mac-lane-still-the-best-place-to-l...

http://carlossicoli.free.fr/A/Awodey_S.-Category_theory-Oxford_University_Pre...

BTW — http://carlossicoli.free.fr :)

Тяжело подъёмные книги (это тебе вряд ли нужно) — «Sheaves in geometry and logic», «Introduction to Higher Order Categorical Logic», «Sketches of an Elephant a Topos Theory Compendium».

P.S. А если вообще, можешь посмотреть — http://math.stackexchange.com/questions/tagged/self-learning?sort=votes&p... http://mathoverflow.net/questions/tagged/big-picture?sort=votes&pageSize=15, http://math.ucr.edu/home/baez/books.html, http://www.maths.cam.ac.uk/undergrad/course/schedules.pdf, http://www.maths.cam.ac.uk/postgrad/mathiii/descriptions.pdf.

Вот еще http://homotopytypetheory.org/book/

Ага, годная книга для начищающего.

Лучше уже тогда proofs and types перед этим осилить. И вообще, это уже не в ту степь.

А что там в матане есть такого кроме пределов, дифференциального и интегрального исчисления, да и рядов Тейлора и Фурье? Что-то не помню особых затруднений. Вот функан я несколько раз порывался изучить и как-то не сложилось.

Исходные данные: студент второго курса какого-то шаражного вуза, непонятно как ещё не вылетевший. Практически полностью не понимаю матан, чуть лучше дела обстоят с линейной алгеброй и дискреткой, хотя тоже весьма плохо. Да, я тупой. Или ленивый. Или всё сразу. Но хочется исправиться.

зачем тебе теория категорий? только потому, что слово красивое?

Цель: понять теорию категорий и, желательно, применение оной.

применение оной, афаик, сейчас практически отсутствует. Когда ее придумали, все кинулись на нее, считая, что это какое-то волшебное средство, но пусть оказался тупиковым и большинство забило на это. Осиль лучше линал на хорошем уровне, зачем на данном уровне забивать голову абстрактным «матаном», если даже с обычным проблемы?

Что-то не так в датском королевстве, если для того, чтобы стать программистом требуется постичь такую сложную математическую теорию.

Да чёрт его знает, что там сложного, просто я подзабросил его, а теперь просто не понимаю. Связь с реальностью совершенно упустил, особенно туплю, когда речь идёт о какой-нибудь сходимости, например.

зачем тебе теория категорий? только потому, что слово красивое?

Потому что Haskell. Хочется понять, как он работает с т.з. математики.

Осиль лучше линал на хорошем уровне, зачем на данном уровне забивать голову абстрактным «матаном», если даже с обычным проблемы?

Так я ж не говорю, что хочу понять теоркат здесь и сейчас. Просто как далёкая перспектива, до этого я с радостью выучил бы то, что уже упустил в вузе.

Что-то не так в датском королевстве, если для того, чтобы стать программистом требуется постичь такую сложную математическую теорию.

Кто сказал программистом? Просто для себя. А то читаешь ЛОРовские срачи и чувствуешь себя неполноценным. Да и вуз требует знаний математики, а оную я сильно запустил, вот и хочу сейчас догнать.

лень несовместима с прогрессом

лень - его двигатель, если что :}

Читай Бурбаков. Кроме шуток. Только IMHO не взлетит.

Какой путь необходимо проделать к теории категорий?

Никакого. Основы теории категорий самодостаточны, даже теория множеств нужна постольку-поскольку.

Если в применении к хаскелю - то имеет смысл познакомиться в общих чертах с частично упорядоченными множествами. По сути, это тоже часть теории множеств.

Для того, чтобы понимать примеры - нужно знать какую-то область, достаточно абстрактную (матан не пойдёт). Подойдут та же теория множеств (в том числе частично упорядоченных), возможно теория групп. Но это не обязательно, если ты готов принять на веру, что «это» действительно имеет применения и все изучаемые конструкции действительно нужны.

Из литературы... не посоветую. Сам я познакомился с понятием «категория» по Математической Энциклопедии, уже имея определённый багаж.

применение оной, афаик, сейчас практически отсутствует.

Любой программист является специалистом по теории категорий. Правда, далеко не любой программист это понимает. И не любой специалист является хорошим специалистом.

Дык на матмех надо было. Или на мехмат.

Тупой я слишком для второго, тупо не прошёл бы по баллам. А в другой город за первым ехать как-то не очень.

Но это не обязательно, если ты готов принять на веру, что «это» действительно имеет применения и все изучаемые конструкции действительно нужны.

Всё-таки по-моему рассуждать о таких вещах не имея под рукой готовых примеров, опробованных на практике и понятных со всех сторон, неправильно.

Теория должна появляться естественным образом, путем обобщения понятий. Как, например, зоричевская концепция пределов по базе: несмотря на то, что она является унификацией и обобщением частных понятий предела, тем не менее в книжке это понятие появляется после доказательства 100500 теорем о пределах. Когда на 100501-ый раз ты наконец восклицаешь: «да сколько можно, я же это уже доказывал почти в такой же форме!», и тут-то и оказывается, что да, это частные случаи одного большого явления.

Так и в категориях: тут изоморфизм групп, там изоморфизм линейных пространств, потом колец и алгебр, ещё где-то диффеоморфизм, или вот вообще непонятно что, но взаимнооднозначное соответствие группы и её алгебры.. и тут начинаешь видеть уже в этом общие черты и похожести, и остается только их формализовать.

Когда ее придумали, все кинулись на нее, считая, что это какое-то волшебное средство

Откуда инфо? Свечку держал? :)

применение оной, афаик, сейчас практически отсутствует

но пусть оказался тупиковым и большинство забило на это

«Большинству» которое занимается матаном, линалом или численными расчётами там, вообще пофиг, что на теорию категорий, что на теорию моделей, теорию типов или основания математики (только если рядом дивана нет), а так я бы не сказал что оно куда-то пропало — взять ту же алгебру, например учебник Ленга, или что-нибудь по алгебраической топологии, или по алгебраической геометрии, или из логики — по категорным логикам, теории доменов, теории типов или лямбда исчислению, или посмотреть на http://golem.ph.utexas.edu/category/ (http://golem.ph.utexas.edu/category/2013/10/the_hott_approach_to_physics.html, например), или на http://mathoverflow.net/tags.

он довольно устарел ко всему прочему

Что конкретно устарело?

устарел

Чему там устаревать-то?

По сабжу, «Дифференциальные уравнения в частных производных» Зоммерфельда.

no-such-file Что конкретно устарело?
Axel Чему там устаревать-то?

Фихтенгольц остановился на уровне развития математики где-то 1920-1930 годов, за столько времени представления относительно многих вещей всё-таки сильно поменялись. По факту:

• Ни слова о топологии. Вообще уже только после этого подобный учебник можно выбрасывать на свалку истории;
• Ни слова о дифференциальных формах;
• Ни слова о внешнем анализе;
• Ни слова о многообразиях;
• Ни слова о (ко)касательных пространствах;
• Ни слова о мерах, интеграле Лебега;
• Ни слова об общей теореме Стокса;
• Ни слова о дифференциальных операторах;
• Ни слова о функциях комплексного переменного;
• Ни слова о расслоениях, накрывающих пространствах;
• Ни слова о ковариантной производной, производной Ли;
• Ни слова о алгербре Ли, непрерывных группах;
• Ни слова о расслоениях, связности, кручении;
• Ни слова о тензорах, пучках, я уж не говорю про (ко)гомологии.

Откройте любой современный учебник по анализу, и вы увидите там большую часть всего перечисленного, начиная с того же детского Зорича, закачнивая Кашиварой и Рамананом. Хочу отдельно заметить, что без большей части приведённых доводов невозможно корректно формально описать многие современные математические понятия (например, кратные интегралы), без второй части довольно сложно углядеть связь между описываемыми вещами (например, ротор и дивергенция). Ну и что за книга по анализу без объяснения, собственно, самого важного и фондументального следствия этого анализа, на котором он весь держится (для удобочитаемости записано в топологических обозначениях)?

<A, dB> = <∂A, B>

Скиена, Кормен, Кнут и Седжвик сделают из тебя кое какого программиста. Теоркат полезен для ликбеза, но явно суперистин для себя не откроешь, код не станет проще или эффективнее

Когда ее придумали, все кинулись на нее, считая, что это какое-то волшебное средство

Откуда инфо? Свечку держал? :)

профессор, который работает в этой области рассказывал.

применение оной, афаик, сейчас практически отсутствует

но пусть оказался тупиковым и большинство забило на это

«Большинству» которое занимается матаном, линалом или численными расчётами там, вообще пофиг, что на теорию категорий,

ну я имел в виду именно людей, работающих в области топологии и связанных с ней областях.

что на теорию моделей, теорию типов или основания математики (только если рядом дивана нет), а так я бы не сказал что оно куда-то пропало — взять ту же алгебру, например учебник Ленга, или что-нибудь по алгебраической топологии, или по алгебраической геометрии, или из логики — по категорным логикам, теории доменов, теории типов или лямбда исчислению, или посмотреть на

ну из учебников понятно, что не исчезло. Но ее уже не форсируют и какого-то особенного интереса теория категорий, насколько я понял, не представляет.

Ни слова о ...

Я, конечно понимаю, что Вы очень крутой математик, но все эти темы достойны изучения отдельно, и уж никак не на первом курсе матанализа, для которого и составлен учебник Фихтенгольца. С другой стороны, мне кажется правильным, знакомиться с анализом с классических позиций, а уж потом переходить на обобщенное современное представление. Вы же не изучаете физику начав с теории относительности и квантовой электродинамики, а сначала рассматриваете законы Ньютона. Или Ньютон тоже устарел?

С другой стороны, мне кажется правильным, знакомиться с анализом с классических позиций

На мой взгляд, это ошибочный путь. Мы же не изучаем основы анализа по трудам Эйлера или даже Ньютона? За это время человечество сумело разработать гораздо более стройную и понятную теорию. И как, например, понятие вектора на порядок упрощает доказательство (до буквально двух-трех строк) так всеми «любимых» школьных геометрических теорем на две страницы, так то же внешнее дифференцирование дает инструмент, из которого буквально-таки автоматически выводится весь векторный анализ, красивый и стройный.

Вы же не изучаете физику начав с теории относительности и квантовой электродинамики

Простите, но при всем уважении это никудышная аналогия.

Или Ньютон тоже устарел?

Лагранжев или даже гамильтонов формализм гораздо, гораздо проще и яснее для понимания откуда все это берется. Да и почти вся физика становится магическим образом ровно так же гораздо понятнее и проще (проще здесь ключевое слово), как только мы должным образом изучим тот же дифгем. Так может начнем с топологии и дифгема, а потом уже перейдем к дифференциальным уравнениям и физике в целом?

какого-то особенного интереса теория категорий, насколько я понял, не представляет

Я не согласен и вижу другую картину, но не будем спорить.

З.Ы. «профессор»? Можно найти 100500 уважаемых «профессоров» которые считают (вот прямо сейчас) иначе — даже ссылки в треде были.

С другой стороны изучать дифгем без полного понимания непрерывности и дифференцируемости в обычном случае и, например, без теоремы о неявной функции — тоже не круто.

но все эти темы достойны изучения отдельно, и уж никак не на первом курсе матанализа

Ну Фихтенгольц, справедливости ради, тоже не на один год обучения. А посмотрите, например, того же Зорича: там два тома на два года, и что понемногу в первом, что во втором подавляющая часть перечисленного выше как раз-таки имеется. Или Львовского: в ряде вопросов он еще глубже Зорича будет, а всего лишь на 3 семестра рассчитан.

С другой стороны изучать дифгем без полного понимания непрерывности и дифференцируемости в обычном случае и, например, без теоремы о неявной функции — тоже не круто.

Ну перед дифгемом нужно 3-4 семестра анализа, конечно :3

какого-то особенного интереса теория категорий, насколько я понял, не представляет

Я не согласен и вижу другую картину, но не будем спорить.

З.Ы. «профессор»? Можно найти 100500 уважаемых «профессоров» которые считают (вот прямо сейчас) иначе — даже ссылки в треде были.

да, найти можно.

понятие вектора на порядок упрощает доказательство (до буквально двух-трех строк) так всеми «любимых» школьных геометрических теорем на две страницы

Однако же в школе изучают геометрию как и 100 лет назад. И правильно делают, потому что любая обобщенная теория всегда сложнее частных случаев. Человеку, который уже накопил какой-то объем информации по проблеме, изучил частности и т.п., обобщенная теория полезна, более того необходима. А когда на первый курс матмеха приходит бывший школьник, который не знает, что такое вещественное число, не говоря уже о том, что такое функция... Какая ему топология? Какой дифгем? Ему на пальцах нужно объяснять что такое число и как их складывать, а вы дифгем...

Возьмите любой учебник, по любой дисциплине, написанный с позиций общей теории - либо «галопом по европам» (полностью понятно только тем, кто уже в теме), либо занудство и скучища такая, что хочется найти автора и сверлить ему зубы без наркоза.

И правильно делают, потому что любая обобщенная теория всегда сложнее частных случаев.

Я вам только в предыдущем сообщении привел сразу два случая, когда выходит лишь легче.