http://www.linux.org.ru/jump-message.jsp?msgid=912994
Обозначая через (1) выр-ие sum(n^2*x^(n+1)), через (2) выр-ие sum(2*n*x^(n+1)), через (3) выр-ие sum(x^(n+1)) будем иметь ответ в виде
(1)-(2)-(3). Очеывидно (3)=x*sum(x^n)=x/(1-x) как сумма геометрич. прогрессии. Сводя (2) и (1) к (3) и подмечая, что (x^n)'=n*x^(n-1), будем иметь sum(n*x^(n-1))=(sum(x^n))'=(1/(1-x))'=1/((1-x)^2). Тогда после элементарных преобразований (2)=2*x^2/((1-x)^2), а (1)=x^2((1-x)^2)/((1-x)^4) и окночат. ответ (-2*x^4+x^3+2*x^2-x)/((1-x)^4).
Штрих везде означает дифференц. по переменной х. Правомочность диффер. объясняется абсолютной сходимостью в круге (-1,1).
Миром рулят две вещи: Г.М. Фихтенгольц и ЛОР!