LINUX.ORG.RU

Я познаю мир

 , ,


27

20

В этом треде мы помогаем лоровцам получше понять и разобраться во всяких интересных математических концепциях. Кто-то до сих пор не понимает почему на ноль делить таки нельзя; кому-то нравятся аналогии «на пальцах» вида детерминант — ориентированный объём, ковектор — (n-1)-мерная плоскость; кому-то будет интересно узнать, что из алгебраической топологии, интеграл это всего-навсего произведение цепи на коцепь. А кто-то до сих пор не знает что такое тензор; возможно, не всем известно, что механику, электродинамику, теорию относительности и квантовую теорию поля можно локально вывести из наикрасивейшего лагранжева формализма; зачем нужны алгебры Ли; что такое ковариантная производная; в чём отличии гомологий от гомотопий, ну и так далее.

Заметьте, это не тред ответов на вопросы вида «почему небо голубое» — за этим идите в гугл; это не тред выполнения за вас домашних заданий — решайте сами; это не тред споров с фриками — игнорируйте их; это тред добра и просвещения. Однако в идеале вы уже должны иметь представление о математике и физике хотя бы на уровне первого-второго курса. Здесь так же можно просить и рекомендовать литературу, можно посылать в английскую википедию, можно и нужно объяснять как можно проще и доступнее (пускай и совсем неформально). Главное, чтобы у зашедшего лоровца появился интерес и желание учиться.

★★★★★

Ответ на: комментарий от quickquest

Пара «видео» добра и просвещения для «школоты», не желающей читать книжки: Chaos, Dimensions.

Отлично подходит по теме к моему прошлому треду годичной давности. Если знаешь ещё что-нибудь хорошее, обязательно пиши.

mix_mix ★★★★★ ()
Последнее исправление: mix_mix (всего исправлений: 1)
Ответ на: комментарий от tailgunner

Житейский здравый смысл говорит, что вторых гораздо больше. Это так?

Да.

Если да, то можно примеры?

Метрическое пространство хорошо проецируется на «здравый смысл» и активно используется в науке и жизни.

Но оно — частный случай топологического пространства, которое можно задать кучей способов, и породить кучу (пока) «ненужных» физикам объектов, например, типа «связного двоеточия».

quickquest ★★★★★ ()
Ответ на: комментарий от tailgunner

Если исторически, то возьмём декартовы координаты в евклидовом пространстве — тогда нужно спрашивать какой геометрический смысл имеет та или иная сущность линейной алгебры (например — решения СЛАУ как нахождение подпространств, пересечения плоскостей т.е. и т.п.). В качестве ещё физического бонуса тут могут быть непрерывные симметрии такого пространства (и времени) и их связь с законами сохранения (теоремы Нётер, но это уже позже).

Про комплексные числа — они и им эквивалентные конструкции существуют и уникальны, так что рано или поздно их бы всё равно нашли. И нашли, так как ничего другого найти было нельзя :) У чисел такое применение, что без чисел вообще нет никакого применения, комплексные это максимальное расширение используемых полей, дальше финитных уже нет, без них нет алгебраической замкнутости, более «жёсткого» анализа, невозможно (или довольно сложно) сформулировать квантовую механику и остальное квантовое что угодно.

motto ()
Ответ на: комментарий от mix_mix

Ну в случае с евклидовым или даже гильбертовым пространством у нас есть канонический изоморфизм

Только для finite dimension, нет?

tyakos ★★★ ()

детерминант — ориентированный объём

а вот про вот это можно?

Harald ★★★★★ ()
Ответ на: комментарий от mix_mix

Hilbert spaces arise naturally and frequently in mathematics and physics, typically as infinite-dimensional function spaces

Наличие ортонормированного базиса не означает конечность размерности.

tyakos ★★★ ()
Последнее исправление: tyakos (всего исправлений: 1)
Ответ на: комментарий от tailgunner

почему операции над ними определены так, как они определены?

Хороший вопрос, кстати. На практике комплексные числа применяются как способ сложения и вращения векторов. Например, Число 0+j имеет аргумент (угол) pi/2, и умножение любого комплексного числа на 0+J поворачивает его на pi/2. Можешь проверить ради интереса. В частности, j*j = -1, то есть 90+90=180, отсюда и известное j=sqrt(-1). -1+0*j имеет аргумент pi, и умножение на -1+0*j (то есть на -1) поворчаивает вектор на 180 градусов (ну это очевидно). Поэтому если в электротехнике у нас есть множество цепей, которые вносят фазовую задержку, то их совместную задержку можно получить, умножив исходный сигнал на соответствующие элементам комплексные числа. Каждое число повернёт вектор на определённое значение, соответствующее фазовой задержке. Формула Эйлера аналогично описывает поворот (через синус и косинус) комплексного числа, которое умножают само на себя (через возведение в степень).

prischeyadro ★★★☆☆ ()
Последнее исправление: prischeyadro (всего исправлений: 2)

Задам свой вопрос ИТТ: поясните, пожалуйста, на пальцах за теорию Галуа: в чём она состоит, почему она была такой революционной?

prischeyadro ★★★☆☆ ()
Ответ на: комментарий от dikiy

а можно запретить Напильнику писать в этот тред, чтобы можно было осмысленно задавать вопросы и получать ответы?

Во многом поэтому я лично не пишу в этот раздел. Никаких сил на напильников не хватит, спорить с идиотом крайне затратное занятие.

unanimous ★★★★★ ()

а просто про физику спросить можно?
меня давно мучает непонимание, но стеснялся спросить о некоторых фундаментальных и простых вещах.
вроде:
почему магнитное поле статично, хотя всё о чём можно подумать находится в движении и имеет частоту
или вообще глупейший вопрос - почему атом вещества излучив фотон не теряет массы покоя, а фотон вообще массы не имеет
в общем, вот бы по физике кто ответил.

system-root ★★★★ ()
Ответ на: комментарий от tyakos

Ну в случае с евклидовым или даже гильбертовым пространством у нас есть канонический изоморфизм

Только для finite dimension, нет?

насколько я понимаю mix_mix, он имеет в виду канонический изоморфизм между ковекторами и гиперплоскостями. В случае гильбертова _сепарабельного_ пространства у нас есть скалярное произведение и мы можем в любой гиперплоскости найти базис. К нему будет существовать линейно независимый вектор иначе это не было бы бы гиперплоскостью. Ну а раз так, то мы можем канонически идентифицировать вектора гильбертова пространства с гиперплоскостями.

Как этот вопрос решается в случае несепарабельного гильбертова пространства, или вообще в случае общего банахового пространства навскидку не вижу.

dikiy ★★☆☆☆ ()
Ответ на: комментарий от system-root

почему атом вещества излучив фотон не теряет массы покоя

а разве не теряет?

dikiy ★★☆☆☆ ()
Ответ на: комментарий от Harald

детерминант — ориентированный объём

а вот про вот это можно?

ну, в 3х мерном пространстве это следует напрямую из того, что векторное произведение дает нам площадь. Ну а потом эту площадь умножить надо на высоту призмы, что эвкивалентно в итоге вычислению детерминанты.

dikiy ★★☆☆☆ ()
Ответ на: комментарий от prischeyadro

поясните, пожалуйста, на пальцах за теорию Галуа: в чём она состоит, почему она была такой революционной?

исторически стояла задача разрешимости алгебраических уравнений в общем виде в радикалах - иными словами, для любого ли алгебраического уравнения (первой, второй, третей, n-ной степени) существует формула, выражающая корни через коэффициенты с помощью операций +, -, *, / и операции взятия корня. уравнения первой степени тривиальны, квадратные уравнения умели решать и древние греки, и древние шумеры; первая сложность возникла с кубическими уравнениями: долгое время не существовало не то что общей формулы, но и понимания того, как решать частные случаи. одним из первых, кто смог классифицировать частные случае кубических уравнений, был Омар Хайям,- он разбил все кубические уравнения на классы и показал (посредством кубических сечений) как решать каждый из них. общая формула для кубических уравнений была (крайне занятным образом) получена Кардано во времена эпохи Возрождения; общую формулу для уравнений четвёртой степени нашёл его слуга и ученик Феррари

после чего костью в горле стали уравнения пятой степени. предложенный Кардано метод для них не работал: идея была в сведении основного уравнения к вспомогательному, которое обычно оказывалось меньшей степени, чем основное; в случае уравнения пятой степени вспомогательное имело шестую степень, и решить его было ещё сложней. математика становилась серъёзной наукой, и многие известные учёные бились над задачей поиска формулы - или доказательства её отсутствия. Лагранж показал, что к задаче разрешимости уравнения имеют отношение перестановки корней, но не довёл мысль до конца; Руффини, а за ним и Абель доказали, что уравнение пятой (и любой большей) степени в общем виде в радикалах неразрешимо

проблема в том, что их доказательства были неконструктивными. они не отвечали на вопрос «почему?». почему для меньших степеней формулы есть, а от пятой и выше - нет? почему для некоторых уравнений пятой степени формулу получить можно, а для некоторых нельзя? Гаусс, в частности, показал общий метод решения циклотомических уравнений любой степени - но почему именно они были разрешимыми в радикалах, понятно не было

и тогда появился Галуа. в свои 18 лет он (изучив монографию Лагранжа) предложил революционный подход к решению нерешаемых задач: если мы не можем решить уравнение, давайте вместо бесплодных попыток решения изменим условия, в которых мы его решаем, так, чтобы решение точно было - и затем оценим, что именно нам пришлось изменять. Галуа рассматривал перестановки корней уравнения (то, что сейчас называется конечной группой перестановок) и рассматривал, как разрешимость зависит от структуры этой группы для каждого случая. внутренней структуре группы перестановок корней он поставил в соответствие структуру числового множества, в котором эти корни искались. расширяем группу - расширяем множество, добавляем в него корни, которых там раньше не было. можем построить ту группу, которая нам нужна, не использовав для расширения множества невозможные (невыразимые через радикалы) числа - значит, у уравнения будет формула, выражающая корни через коэффициенты. не можем - значит, такой формулы нет

идея была революционной по целому ряду причин. это было первое использование теории групп (которая тогда так ещё не называлась), использование того, что позже назовут соответствием Галуа (параллель между алгебраическими структурами, когда построение в одном даёт информацию о другом), и сугубо конструктивное (алгоритмическое) доказательство существования. почему одни уравнения имеют формулу для решения, а другие - нет? да потому что группы Галуа (группы перестановок корней) у первых разрешимы, а у вторых - нет. это было не просто жонглирование числами в надежде получения противоречия - это была возможность заглянуть во внутреннюю сущность абстрактных алгебраических объектов, и вынести оттуда новую информацию

jtootf ★★★★★ ()
Последнее исправление: jtootf (всего исправлений: 2)
Ответ на: комментарий от jtootf

Спасибо огромное за простыню. Очень захватывающе. Читается как триллер.

prischeyadro ★★★☆☆ ()
Ответ на: комментарий от tailgunner

Ни один лоровский аналитик не ответит тебе на этот вопрос так ясно, как Понтрягин в книге «Обобщения чисел»

buddhist ★★★★★ ()

Напильник столько корма проспал...

dk- ()
Ответ на: комментарий от dikiy

Да, связаны. Систему уравнений Эйлера-Лагранжа и дифференциальных связей можно представить в виде гамильтоновой системы. Подробнее смотри в Алексеев-Тихомиров-Фомин «Оптимальное управление», п. 4.1.1, стр. 302 и п. 4.4.3, стр. 377

buddhist ★★★★★ ()

Ну и повторяю свой вопрос из предыдущего треда: что лучше, иметь неполную логику и полную математику, или же полную логику, но неполную математику?

buddhist ★★★★★ ()
Ответ на: комментарий от buddhist

спасибо! Скочал, надеюсь разберусь в связях.

dikiy ★★☆☆☆ ()
Ответ на: комментарий от Harald

Исторически определитель матрицы появляется в контексте решения СЛАУ, ну и это не удивительно, в общем-то. В середине XVIII века Крамер предложил формулу, в которой использовались все возможные произведения элементов матрицы с учётом чётности числа инверсий подстановки индексов. Эта формула обладала тем замечательным свойством, что в случае линейной зависимости системы, то есть какие-то уравнения выражаются через другие (то есть по факту реальных уравнений меньше), она обращалась в ноль.

Позднее были исследованы её свойства, и было обнаружено, что подобная полностью антисимметричная n-линейная форма единственна с точностью до умножения на скаляр, и если потребовать, чтобы на единичной матрице она равнялась единице, как раз получится детерминант. Подобные свойства (полилинейность, антисимметричность и нормировка) наталкивают на мысли схожести с уже знакомым геометрическим инвариантом, только в данном случае не линейного оператора, а параллелограмма — ориентируемой площадью и объёмом. Ориентируемой в том смысле, что может быть отрицательной. Инвариант в том смысле, что детерминант оператора не изменяется от того в каком базисе брать его матрицу.

И действительно, подобный изоморфизм имеет место в реальности. Индукцией доказывается, что в общем случае определитель матрицы n*n равен ориентированному объёму n-мерного параллелограмма, натянутого на столбцы-вектора. Если кто хочет разобраться глужбе, рекомедую Львовского, Лекции по математическому анализу, раздел 22.2.

mix_mix ★★★★★ ()
Последнее исправление: mix_mix (всего исправлений: 2)

Кстати, темы вывода механики из лагранжева формализма и практических целей алгебр Ли до сих пор не освещены.

tailgunner ★★★★★ ()
Ответ на: комментарий от tailgunner

К примеру «цветные» заряды в физике не имеют никакого отношения к цвету и на самом деле характеризуются неприводимым представлением алгебры Ли, из которого строится Лагранжиан описывающий их свойства.

И на каждое представление - своя частица.

alpha ★★★★★ ()
Ответ на: комментарий от tailgunner

... практических целей алгебр Ли до сих пор не освещены.

Ну, например, «Теория управления на группах Ли». (PDF) ©

quickquest ★★★★★ ()
Ответ на: комментарий от jtootf

Представим себе, что мы держим в руках стакан и вращаем его относительно его же оси симметрии. Удивительный момент состоит в том, что при вращении на 360 градусов система рука-стакан не переходит в своё изначальное состояние — рука неестественно выгнута. Однако если мы продолжим вращение в том же направлении (это абсолютно безболезненно), ещё один поворот на 360 градусов возвращает всё на круги своя. Пример: http://www.youtube.com/watch?v=JDJKfs3HqRg Почему же так происходит?

На помощь приходит фундаментальный (наравне с алгеброй и геометрией) раздел топологии. Положим, у нас есть некое пространство (в данном случае конфигурационное пространство системы рука-стакан). Выберем некоторую точку на нём и рассмотрим множество петель, то есть путей, выходящих из этой точки, как-то петляющих по пространству и возвращающихся обратно в эту же точку. Оказывается, каждому пространству мы можем сопоставить его фундаментальную группу классов таких петель. Рассмотрим, например, тор (бублик), на нём существует три класса петель: одни стягиваются в точку, другие «застревают» вокруг отверстия (дырки бублика), третьи «застревают» вокруг «обода» и так же не могут быть стянуты в точку.

К слову, знаменитая гипотеза Пуанкаре утверждает, что всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие без края гомеоморфно трёхмерной сфере. Проще говоря, некая поверхность в четырёхмерном пространстве, состоящая из одного куска и без всяких особенностей, вроде точек на бесконечности, может быть непрерывно деформирована в сферу; другими словами, все петли на этой поверхности могут быть стянуты в точку. Кому-то может показаться, что из этого вытекает следствие того, что в четырёхмерном пространстве не существет узлов (а это так!), но это не совсем из-за этого.

Возвращаясь к нашему конфигурационному пространству, оказывается, что петля, проходящая через точки поворота на 2π не может быть стянута — налицо топологическая «особенность» в виде дырки. Однако же петля, проходящая через точки поворота на 4π относятся к другому классу и могут быть стянуты, что и объясняет спинорный характер системы.

Возвращаясь к топологии, аналогичным образом определяются n-мерные гомотопические группы, только вместо непрерывного оторбражения отрезка — пути, мы имеем дело с n-мерным кубом. Основной недостаток подобных групп — их тяжело вычислять. На это были выдуманы группы гомологий и двойственные им группы когомологий. Они определяются совсем по-другому, для для простоты можно считать, что отличие гомологий от гомотопий в том, что в случае гомологий участки петель могут «гасить» друг друга. Продолжение следует.

mix_mix ★★★★★ ()
Ответ на: комментарий от mix_mix

я хотел про интегралы :) гомотопии и группы гомологий я на пальцах знаю. но вообще хорошее объяснение

jtootf ★★★★★ ()
Ответ на: комментарий от mix_mix

в четырёхмерном пространстве не существет узлов

нетривиальных узлов :)

jtootf ★★★★★ ()
Ответ на: комментарий от jtootf

А я плавно так от одного вопроса к другому прихожу :)

Возьмём наше пространство, разобьём его на n-мерные тетраэдры (симплексы), которые стыкуясь границами друг к другу образуют триангуляцию пространства или симплициальный компле́кс. На это комплексе можно построить группу цепей, образуемых линейной комбинацией симплексов (что-то вроде путей, только на комплексе), так же можно построить подгруппу циклов (замкнутых путей — петель), ключевое свойство которой то, что она является ядром некого граничного гомоморфизма ∂. Цикл A называется границей, если существует такая цепь, что A = ∂B.

Вот мы и подошли к главному: гомологической группой некого симплициального комплекса называется факторгруппа циклов по границам, элементы которой являются циклами, не являющимися границами. Замечательное свойство гомологий состоит в том, что гомологическая группа многообразия (то есть нашего пространства) не зависит от способа триангуляции.

Наряду с группами цепей, циклов и границ можно рассматривать их двойственные (или сопряжённые) группы коцепей, коциклов и кограниц. Небольшое отступление: сопряжённым некоторому векторному пространству V над R называется пространство V* линейных отображений на V (то есть функций V -> R). Приставка ко- практически всегда означает подобную двойственность в математике (в теории категорий сказали бы «развернуть стрелки»).

Аналогичным образом определяется группа когомологий, являющаяся факторгруппой коциклов по кограницам. Удивительный факт состоит в том, что данный объект на деле обладает структурой кольца (с чашечным произведением http://en.wikipedia.org/wiki/Cup_product), чем не может похвастать группа гомологий, поэтому для работы обычно используют ко- структуры — так удобнее. Ещё можно было бы упомянуть про двойственность Пуанкаре, утвержающая что группы когомологий H^{k}(M) изоморфны группам гомологий H_{n-k}(M).

Ну вот я набросал вам основы алгебраической топологии :3 Теперь к интегралам. Можно заметить и довольно красиво доказать, пространство дифференциальных форм на гладком многообразии M является коцепным комплексом, где его кограницы вводятся внешним дифференциалом d. Интересно, что значение выбранной коцепи на некой цепи равно интегралу от соответствующей формы по данной цепи. Отсюда вытекает обобщение основной теоремы анализа в терминах коцепей: <dω|c> = <ω|∂c>.

Забавно, что по факту интегрирование оказывается более «естественной» или даже «натуральной» операцией, нежели дифференцирование: понятие произведения коцепи на цепь по факту гораздо проще взятию кограницы от коцепи. По расслоениям и косым произведениям как-нибудь потом. Надеюсь, было не очень сложно. Для более подробного изучения рекомендую Уитни Х. Геометрическая теория интегрирования.

mix_mix ★★★★★ ()
Ответ на: комментарий от jtootf

«Finite extension», в русской литературе «конечное расширение», наверно.

motto ()
Ответ на: комментарий от system-root

почему магнитное поле статично, хотя всё о чём можно подумать находится в движении и имеет частоту

Ну почему же, если у нас магнитное поле статично, то и тока никакого нет. Или речь идёт про постоянные магниты? Ну это уже свойство вещества: у элементарных частиц есть собственный магнитный момент — спин. А вообще магнитное поле ни больше ни меньше как релятивисткий эффект, вызванный электрическим полем. И наоборот, всё зависит от того в какой система отсчёта мы его наблюдаем. Если уж совсем по-хорошему, то всё это разделение условно, есть одно электромагнитное поле, выражаемое (2,0)-тензором F и два уравнения Максвелла: dF = 0 и d*F = μ*J, где * — https://ru.wikipedia.org/wiki/Звезда_Ходжа

почему атом вещества излучив фотон не теряет массы покоя, а фотон вообще массы не имеет

Потому, что масса покоя — инвариант, она эквивалентна лишь внутренней энергии системы E_0 = mc^2. Фотон так же, несмотря на нулевую массу покоя, может переносить (и переносит) ненулевой импульс, а вместе с ним и энергию E=hν, где ν — частота света.

mix_mix ★★★★★ ()

Кстати, было бы здорово, если кто на пальцах смог донести природу касательных и кокасательных расслоений, эти понятия слишком важны и вместе с тем довольно сложны для неофита. Если так же кто сможет объяснить суть пучков, было бы вообще офигенно (я сам их не очень хорошо понимаю).

mix_mix ★★★★★ ()
Ответ на: комментарий от mix_mix

Можно заметить и довольно красиво доказать, пространство дифференциальных форм на гладком многообразии M является коцепным комплексом, где его кограницы вводятся внешним дифференциалом d

вот это мне неочевидно. можно на пальцах, опять же?

Уитни Х. Геометрическая теория интегрирования.

обязательно почитаю, спасибо

jtootf ★★★★★ ()
Ответ на: комментарий от mix_mix

объяснить суть пучков

и схем. для меня они остаются загадкой на уровне «спектр коммутативного кольца с топологией Зарисского»

что касается расслоений и пучков, то какое-то интуитивное представление у меня есть только на примерах из теории топосов (я интересовался в первую очередь с точки зрения логики, но геометрические примеры сколько-то пытался переваривать)

jtootf ★★★★★ ()
Ответ на: комментарий от motto

«Finite extension», в русской литературе «конечное расширение», наверно.

я понял. да, любое конечное расширение С изоморфно C

jtootf ★★★★★ ()
Ответ на: комментарий от jtootf

вот это мне неочевидно. можно на пальцах, опять же?

Увы, доказательство теоремы де Рама ни разу не тривиально. Самое элегантное, что я видел, можно изучить в Натанзон, Введение в пучки, расслоения и классы Черна, но если не хочешь непоправимого ущерба рассудку, можно почитать Прасолова, Элементы теории гомологий. Ну и в приведённом выше Уитни это, конечно, по всей книге размазано.

mix_mix ★★★★★ ()
Ответ на: комментарий от mix_mix

о, Прасолова я начинал читать, но так и не закончил. спасибо за напоминание

jtootf ★★★★★ ()
Ответ на: комментарий от motto

Кстати, на тему пучков, дифференциальных форм, когомологий etc. есть великолепная книга Ramanan, Global calculus. Как у Aluffi, в моём представлении, лучшая книга по алгебре, так у него лучшая по анализу. Но её без должной подготовки читать, конечно, практически невозможно.

mix_mix ★★★★★ ()
Ответ на: комментарий от motto

о, вот это просто восхитительно. пробежался глазами - шикарно, счас набодяжу чаю и примусь за чтиво. спасибо большое!

jtootf ★★★★★ ()

Кажется, в этом треде коснулись всех проблем, заполнивших Science & Engineering.

Stalin ★★★★★ ()

Здесь так же можно просить и рекомендовать литературу, можно посылать в английскую википедию, можно и нужно объяснять как можно проще и доступнее (пускай и совсем неформально). Главное, чтобы у зашедшего лоровца появился интерес и желание учиться.

Не раскрыто до сих пор. Прошу рекомендовать! Рекомендуйте уже! Где учиться опять же? Ну, и намекнул бы за себя любимого что ли, что да как...в смысле кто таков. А то окажется потом, что ты препод голимый!

conalex ★★★ ()

поделюсь ещё одним наглядным (не очень строгим, впрочем) наблюдением, связанным с комплексными числами

вещественная алгебра как алгебраическая структура - это структура, являющаяся одновременно кольцом (разрешены операции +, -, *), линейным пространством (определено сложение векторов и умножение вектора на вещественное число), и удовлетворяющая при этом доволнительной аксиоме дистрибутивности. в случае, если алгебра является не просто кольцом, но полем, её называют алгеброй с делением (разрешена операция /). размерность вещественной алгебры (записывается n-алгебра, где n - размерность) - её размерность как линейного пространства (грубо говоря, количество базисных векторов). у R базисный вектор один - 1, у C - 1 и i; потому R - вещественная 1-алгебра, а C - вещественная 2-алгебра. произведения базисных элементов алгебры называются структурными константами алгебры. так, тот факт, что i*i = -1, говорит о наличии у C структурной константы -1

несложно показать, что ассоциативных коммутативных вещественных 2-алгебр три штуки (комплексные, двойные и дуальные числа). как можно их построить, имея R? существует несколько методов, я предложу один из них

если мы возьмём произвольное поле (например, F2 - поле из двух элементов, {0, 1}) и построим над ним множество многочленов (многочленов, коэффициенты которых могут принимать только два значения - 0 и 1), то это множество будет обладать структурой кольца (многочлены можно будет складывать, вычитать и умножать). более того, это кольцо будет Евклидовым (многочлены можно будет делить с остатком); записывается такое кольцо F2[x]. теперь найдём в этом кольце неприводимый многочлен (аналог простого числа - многочлен, который делится только на себя и константы) и построим множество элементов кольца, кратных этому неприводимому многочлену (точно так же как из простого числа 2 мы бы построили множество чётных чисел). такое множество носит название идеала, порождённого простым элементом. неприводимый многочлен над F2 выглядит как x^2 + x + 1, идеал записывается с помощью скобок вокруг него: (x^2 + x + 1). замечательным (и довольно легко доказываемым) фактом абстрактной алгебры является то, что если мы факторизуем («поделим») наше кольцо на наш идеал, мы получим поле. в случае чётных чисел это выглядело бы так - делим N на 2N (чётные) и получаем N2 (множество, состоящее из остатков от деления на 2, {0, 1}). в случае нашего исходного поля F2 получится так: F2[x] / (x^2 + x + 1) ~ F4, поле из четырёх элементов, образованное как множество остатков от деления на неприводимый многочлен из F2[x]

R - поле. почему бы не повторить такой трюк с ним же? собственно, если мы возьмём R, построим кольцо многочленов над ним R[x], возьмём неприводимый многочлен в этом кольце x^2 + 1, построим идеал, порождённый этим многочленом (x^2 + 1) и факторизуем по нему кольцо, мы и получим C, поле комплексных чисел. характерная особенность неприводимого многочлена над R - отсутствие корней. а что если мы попробуем сделать то же самое, но с многочленом, имеющим два корня? R[x] / (x^2 - 1) ~ C', двойные числа, алгебра без деления, изоморфна R+R. а что если взять многочлен с двумя совпадающими корнями? R[x] / (x^2) ~ C0, дуальные числа, алгебра без деления, образует флаговую поверхность с псевдометрикой

структурные константы: C(1, i, i, -1), C'(1, e, e, 1), C0(1, E, E, 0), т.е. если в C i^2 = -1, то в C' e^2 = 1, а в C0 E^2 = 0

jtootf ★★★★★ ()
Ответ на: комментарий от motto

Ещё со стороны AT к расслоениям — http://www.math.cornell.edu/~hatcher/#anchor1772800 (вторая, потом первая, tangent bundle -> vector bundle -> fiber bundle), http://www.math.uchicago.edu/~may/CONCISE/ConciseRevised.pdf (тут наоборот с обобщений сначала).

Со стороны механики — http://en.wikipedia.org/wiki/Hamiltonian_mechanics#Geometry_of_Hamiltonian_sy..., книжка Пенроуза (которая «Путь ...»), книжка Арнольда про механику.

motto ()
Ответ на: комментарий от jtootf

алгебраическая замкнутость C хорошо проявляется с точки зрения этой техники: допустим, мы хотим построить расширение C подобным же образом. берём C, строим кольцо многочленов C[x], берём неприводимый многочлен второй степени...стоп, не берём. их там нет. увы нам

jtootf ★★★★★ ()
Ответ на: комментарий от motto

странно, что в списках нет TWF Баеца. всячески рекомендую

jtootf ★★★★★ ()
Ответ на: комментарий от conalex

Прошу рекомендовать! Рекомендуйте уже!

Ну так уже с десяток книг набралось в сообщениях. Впрочем, через несколько минут я скину неплохую подборку книг по нескольким разделам, составленную одним весьма уважаемым человечком.

Где учиться опять же?

НМУ, ВШЭ, ну как вариант МГУ, МФТИ, если есть желание. А более конкретно не знаю. Я не учился нигде вообще.

Ну, и намекнул бы за себя любимого что ли, что да как...в смысле кто таков

Да намекать как-то особо нечего. Математика — моё небольшое хобби. Так у меня формального образования нет никакого.

mix_mix ★★★★★ ()
Вы не можете добавлять комментарии в эту тему. Тема перемещена в архив.