Исправление mix_mix, (текущая версия) :
Исторически определитель матрицы появляется в контексте решения СЛАУ, ну и это не удивительно, в общем-то. В середине XVIII века Крамер предложил формулу, в которой использовались все возможные произведения элементов матрицы с учётом чётности числа инверсий подстановки индексов. Эта формула обладала тем замечательным свойством, что в случае линейной зависимости системы, то есть какие-то уравнения выражаются через другие (то есть по факту реальных уравнений меньше), она обращалась в ноль.
Позднее были исследованы её свойства, и было обнаружено, что подобная полностью антисимметричная n-линейная форма единственна с точностью до умножения на скаляр, и если потребовать, чтобы на единичной матрице она равнялась единице, как раз получится детерминант. Подобные свойства (полилинейность, антисимметричность и нормировка) наталкивают на мысли схожести с уже знакомым геометрическим инвариантом, только в данном случае не линейного оператора, а параллелограмма — ориентируемой площадью и объёмом. Ориентируемой в том смысле, что может быть отрицательной. Инвариант в том смысле, что детерминант оператора не изменяется от того в каком базисе брать его матрицу.
И действительно, подобный изоморфизм имеет место в реальности. Индукцией доказывается, что в общем случае определитель матрицы n*n равен ориентированному объёму n-мерного параллелограмма, натянутого на столбцы-вектора. Если кто хочет разобраться глужбе, рекомедую Львовского, Лекции по математическому анализу, раздел 22.2.
Исправление mix_mix, :
Исторически определитель матрицы появляется в контексте решения СЛАУ, ну и это не удивительно, в общем-то. В середине XVIII века Крамер предложил формулу, в которой использовались все возможные произведения элементов матрицы с учётом чётности числа инверсий подстановки индексов. Эта формула обладала тем замечательным свойством, что в случае линейной зависимости системы, то есть какие-то уравнения выражаются через другие (то есть по факту реальных уравнений меньше), она обращалась в ноль.
Позднее были исследованы её свойства, и было обнаружено, что подобная полностью антисимметричная n-линейная форма единственна с точностью до умножения на скаляр, и если потребовать, чтобы на единичной матрице она равнялась единице, как раз получится детерминант. Подобные свойства (полилинейность, антисимметричность и нормировка) наталкивают на мысли схожести с уже знакомым геометрическим инвариантом, только в данном случае не линейного оператора, а параллелограмма — ориентируемой площадью и объёмом. Ориентируемой в том смысле, что может быть отрицательной. Инвариант в том смысле, что детерминант оператора не изменяется от того в каком базисе брать его матрицу, не изменяется же и он от того как «крутить» жесткий параллелограмм на шарнирах.
И действительно, подобный изоморфизм имеет место в реальности. Индукцией доказывается, что в общем случае определитель матрицы n*n равен ориентированному объёму n-мерного параллелограмма, натянутого на столбцы-вектора. Если кто хочет разобраться глужбе, рекомедую Львовского, Лекции по математическому анализу, раздел 22.2.
Исходная версия mix_mix, :
Исторически определитель матрицы появляется в контексте решения СЛАУ, ну и это не удивительно, в общем-то. В середине XVIII века Крамер предложил формулу, в которой использовались все возможные произведения элементов матрицы с учётом чётности числа инверсий подстановки индексов. Эта формула обладала тем замечательным свойством, что в случае линейной зависимости системы, то есть какие-то уравнения выражаются через другие (то есть по факту реальных уравнений меньше), она обращалась в ноль. Позднее были исследованы её свойства, и было обнаружено, что подобная полностью антисимметричная n-линейная форма единственна с точностью до умножения на скаляр, и если потребовать, чтобы на единичной матрице она равнялась единице, как раз получится детерминант. Подобные свойста (полилинейность, антисимметричность и нормировка) наталкивают на мысли схожести с уже знакомым геометрическим инвариантом, только в данном случае не линейного оператора, а параллелограмма — площадью и объёмом. Инвариант в том смысле, что детерминант оператора не изменяется от того в каком базисе брать его матрицу, не изменяется же и он от того как «крутить» жесткий параллелограмм на шарнирах. И действительно, подобный изоморфизм имеет место в реальности. Индукцией доказывается, что в общем случае определитель матрицы n*n равен ориентированному объёму n-мерного параллелограмма, натянутого на столбцы-вектора. Если кто хочет разобраться глужбе, рекомедую Львовского, Лекции по математическому анализу, раздел 22.2.