LINUX.ORG.RU

Я познаю мир

 , ,


27

20

В этом треде мы помогаем лоровцам получше понять и разобраться во всяких интересных математических концепциях. Кто-то до сих пор не понимает почему на ноль делить таки нельзя; кому-то нравятся аналогии «на пальцах» вида детерминант — ориентированный объём, ковектор — (n-1)-мерная плоскость; кому-то будет интересно узнать, что из алгебраической топологии, интеграл это всего-навсего произведение цепи на коцепь. А кто-то до сих пор не знает что такое тензор; возможно, не всем известно, что механику, электродинамику, теорию относительности и квантовую теорию поля можно локально вывести из наикрасивейшего лагранжева формализма; зачем нужны алгебры Ли; что такое ковариантная производная; в чём отличии гомологий от гомотопий, ну и так далее.

Заметьте, это не тред ответов на вопросы вида «почему небо голубое» — за этим идите в гугл; это не тред выполнения за вас домашних заданий — решайте сами; это не тред споров с фриками — игнорируйте их; это тред добра и просвещения. Однако в идеале вы уже должны иметь представление о математике и физике хотя бы на уровне первого-второго курса. Здесь так же можно просить и рекомендовать литературу, можно посылать в английскую википедию, можно и нужно объяснять как можно проще и доступнее (пускай и совсем неформально). Главное, чтобы у зашедшего лоровца появился интерес и желание учиться.

★★★★★

а попробуй без 5.2 переформулировать (0)

Получил за напильника, перекат.

mix_mix ★★★★★ ()

Продублирую из www.linux.org.ru/forum/science/11060112

почему на ноль делить таки нельзя

В первую очередь, нужно заметить что конкретно мы понимаем под нулём. В данном случае это не некий бесконечно малый элемент из-под знака предела, это самый что ни на есть полный ноль. Существует понятие алгебраической структуры поля https://ru.wikipedia.org/wiki/Поле_(алгебра). Во-первых, тривиально доказывается ∀a∈F∃0∈F: a*0=0*a=0, где 0 — центральный элемент относительно сложения. Покажем это: ∀a∈F∀b∈F: a*0=a*(b-b)=a*b-a*b=0. Во-вторых, из определения обратного элемента поля: ∀a∈F∃a⁻¹∈F: a*a⁻¹=a⁻¹*a=1∈F. Ещё более тривиально доказывается единственность нуля и обратного элемента. Теперь по факту имеем противоречие: 1=0*0⁻¹=0, так как первое равенство вытекает из определения обратного элемента, второе из доказательства выше. Это противоречие явно показывает, что обратного элемента нуля просто-напросто не может существовать (иначе это будет не поле, и мы потеряем какие-то его плюшки). На этом можно было бы, в принципе, и остановиться, но что если в нашем поле действительно 1=0? Действительно, существует тривиальное кольцо, где выполняется это свойство, однако мы никак не можем наделить его структурой поля (что выливается в прямое требование 1≠0 в определении поля), почему это именно так интересующимся можно почитать, например, здесь: http://math.stackexchange.com/a/427089

mix_mix ★★★★★ ()

а можно запретить Напильнику писать в этот тред, чтобы можно было осмысленно задавать вопросы и получать ответы?

dikiy ★★☆☆☆ ()
Ответ на: комментарий от dikiy

Я уже давно предлагал запретить Напильнику писать вообще в эту ветку форума!

Eddy_Em ☆☆☆☆☆ ()

объясните мне пожалуйста, связаны ли каким-то образом гамильтонова функция из теории оптимального управления и та же самая функция из классической механики? Точнее они конечно связаны, но почему? Ведь в классической механике мы принимаем за аксиому законы природы и уже из них получаем выводы относительно гамильтоновой функции (ну что производная импульса по времени - это частная производная функции гамильтона по координате). А в теории оптимального управления (у Гамкрелидзе например). Гамильтониан определяется как произведения мультипиркатора на собсно подинтегральную функцию целевого функционала.

немного сумбурно, но я надеюсь, что знающие люди поймут мой вопрос.

dikiy ★★☆☆☆ ()

Eddy_Em

Опиши, почему возникла барионная асимметрия.

Этого, увы, пока никто не знает, есть лишь ничем толком неподкреплённые догадки

Что ошибочного в ОТО, что приходится выдумывать термины вроде «темная материя» и «темная энергия»?

Да ничего, собственно. Тёмная материя никак толком не связана с ошибочностью ОТО (по крайней мере, насколько сейчас мы это понимаем), а тёмная энергия выражается лямбда-членом в самом уравнении поля: G_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu \nu} = {8\pi G\over c^4} T_{\mu \nu}

Сколько на самом деле измерений во Вселенной и почему они сворачиваются?

Нужно всё-таки понимать что тот или иной человек подразумевает под пространством. Я считаю, это больше философский вопрос, не имею ничего общего с наукой. В физике нам никто не мешает взять произведение R^3 и, скажем, S^2, если это хоть как-то упрощает теорию и вычисления. А есть фазовые пространства, накрывающие, расслоения etc — всё это суть абстракции.

mix_mix ★★★★★ ()
Ответ на: комментарий от mix_mix

Вообще-то, ни на один из заданных мной вопросов человечество не знает достоверного ответа.

Eddy_Em ☆☆☆☆☆ ()
Ответ на: комментарий от Eddy_Em

Ага, но вопрос про размерность пространства сам по себе хороший. Довольно много людей не понимают в чём разница между высота-ширина-глубина и математическими абстракциями в той или иной теории. Очень важно осознавать, что они толком не имеют ничего общего, а самое главное, что в этом нет ничего плохого.

mix_mix ★★★★★ ()
Ответ на: комментарий от mix_mix

Вся наша физика по большому счету наивна: мы видим 4 измерения, вот и пытаемся все закрутить вокруг них. А тем не менее, вдруг есть еще измерения, реальные для этого мира? Тогда все упрощается!

По крайней мере, в физике элементарных частиц приходится вводить дополнительные измерения как абстракцию. А что, если на самом деле эти измерения — реальность?

Вот такая чешуя. Нет ответа нифига.

Eddy_Em ☆☆☆☆☆ ()
Ответ на: комментарий от dikiy

Я, увы, в этом далеко не спец, но не может ли это выводиться ровно так же через однородность и изотропность в том или ином конфигурационном пространстве?

mix_mix ★★★★★ ()
Ответ на: комментарий от Eddy_Em

А что, если на самом деле эти измерения — реальность?

А что есть реальность? Проблема в том, что это исключительно философские вопросы, которые не дают абсолютно ничего полезного (ну кроме пищи для размышлений когда делать совсем нечего). Заткнись и считай всё же самый прагматичный подход.

mix_mix ★★★★★ ()
Ответ на: комментарий от mix_mix

никак не можем наделить его структурой поля

да, но не совсем. поле из одного элемента - вполне себе объект изучения, хоть и крайне трудноуловимый (вроде абсолютной группы Галуа). на эту тему есть отличная статья, дичайше рекомендую

jtootf ★★★★★ ()

Годно, подпишусь.

Рассказывай про всё, что написал.

ZERG ★★★★★ ()
Ответ на: комментарий от mix_mix

приходится выдумывать термины вроде «темная материя» и «темная энергия»

позволю себе привести скетч ответа

jtootf ★★★★★ ()
Ответ на: комментарий от jtootf

поле из одного элемента - вполне себе объект изучения, хоть и крайне трудноуловимый

Есть только одна тонкость: его всё же не существует. http://en.wikipedia.org/wiki/Field_with_one_element Все статьи и книги описывают лишь его свойства, если бы оно существовало, ну или всякие побочные конструкции, вроде проективной геометрии над F_1: http://arxiv.org/pdf/math/0407093v1.pdf

mix_mix ★★★★★ ()

ковектор — (n-1)-мерная плоскость

это очень вольная аналогия. гиперплоскость — подпространство коразмерности 1 векторного пространства, состоящее из всех векторов, аннигилируемых фиксированным ковектором сопряжённого пространства. ковектор позволяет записать гиперплоскость, но говорить что он ею и является - моветон

jtootf ★★★★★ ()
Ответ на: комментарий от mix_mix

его всё же не существует

ага. его не существует, но оно должно существовать. иными словами, во многих областях математики фигурирует некий объект, который ведёт себя, как конечное поле из одного элемента. название F-un - волюнтаризм, но более хорошего никто не предложил

надо следить за работами Кати Консани, в общем

jtootf ★★★★★ ()
Ответ на: комментарий от Eddy_Em

Надо запретить напильнику писать вообще, пока он не научится читать.

dn2010 ★★★★★ ()

интеграл это всего-навсего произведение цепи на коцепь

вот об этом я бы почитал. и про расслоения, если можно

со своей стороны могу предложить рассмотрение сложения двухзначных чисел с точки зрения когомологий (операция переноса удовлетворяет свойствам коцикла за счёт ассоциативности сложения)

jtootf ★★★★★ ()
Ответ на: комментарий от jtootf

ковектор позволяет записать гиперплоскость

Ну в случае с евклидовым или даже гильбертовым пространством у нас есть канонический изоморфизм. В целом это не совсем справедливо, согласен. Но как раз подобное и означает «на пальцах»: немного приврать, но суть донести.

mix_mix ★★★★★ ()

Если вы такие добрые, у меня есть несколько вопросов: из каких практических задач выросла концепция комплексных чисел и почему операции над ними определены так, как они определены? То же про векторы и матрицы.

Про тензор тоже интересно, да.

tailgunner ★★★★★ ()
Ответ на: комментарий от tailgunner

Комплексные числа получились из попыток вывода формул для полиномов степеней выше двойки. Вопрос «почему».

Тензор - из описания движения, тензор инерции, тензор напряжений, вот это всё.

aedeph_ ★★ ()
Ответ на: комментарий от jtootf

тензор это объект, не более и не менее

ZERG ★★★★★ ()
Ответ на: комментарий от tailgunner

из каких практических задач выросла концепция комплексных чисел

Исторически они возникли раньше, чем появились практические задачи, в которых они применяются, однако с некоторыми оговорками можно считать, что для физиков они возникли в задачах:

Электротехника, переменный ток: комплексные числа.
Механика, гироскоп: кватернионы.

То же про векторы и матрицы.

Механика, сопромат: векторы, матрицы, тензоры.

quickquest ★★★★★ ()
Ответ на: комментарий от tailgunner

из каких практических задач выросла концепция комплексных чисел

из задачи решения алгебраических уравнений третьей степени в общем случае в радикалах. Кардано нашёл (украл украденное, но довёл до ума) формулу, и она всегда давала ему все вещественные корни; однако иногда давала так же и корни, не имеющие смысла. сам он не стал в этом разбираться, поскольку считал математику сугубо прикладной наукой (по той же причине он в значительной мере забраковал формулу своего слуги и ученика Феррари - у него не было физическогой интуиции для уравнений четвёртой степени)

почему операции над ними определены так, как они определены?

этот вопрос требует уточнения. во-первых, комплексные числа естественным образом появляются как алгебраическое замыкание вещественных (грубо говоря мы хотим, чтобы все алгебраические уравнения имели корни), и их свойства можно вывести отсюда. во-вторых, комплексные числа можно вводить геометрически - мы хотим записывать изометрии плоскости, потому нам нужна геометрическая алгебра (с нормой, которая выражала бы длину вектора). в третьих, можно рассмотреть все ассоциативные коммутативные вещественные алгебры размерности 2 (их всего 3 - комплексные, двойные и дуальные числа) и выбрать из них самую удобную (являющуюся полем), откуда сразу будет видно что i^2 = -1. какую тебе точку зрения?

jtootf ★★★★★ ()
Ответ на: комментарий от ZERG

тензор это объект, не более и не менее

наиболее абстрактно, тензор - это элемент тензорного произведения векторных пространств. в физике, как правило, тензор ранга (n, m) - это элемент произведения тензорной степени n фиксированного векторного пространства V на тензорную степень m дуального к нему пространства V*, т.е. (V^n x V*^m)

линейный оператор пространства - тензор ранга (1, 1). билинейная форма - тензор ранга (0, 2). метрический тензор, в частности,- недегенеративная (имеющая тривиальное ядро) симметричная билинейная форма, т.е. имеет ранг (0, 2)

jtootf ★★★★★ ()
Ответ на: комментарий от tailgunner

Тензор - это просто максимально общая формулировка линейного отображения. Человек все непонятные зависимости стремится приблизить понятными линейными, с которыми можно уже как-то работать. Для обычной функции для этого используется дифференциал, для вещественной функции многих переменных - якобиан. Для функций из одного многомерного пространства в другое - тензор.

Это первое линейное приближение всего чего угодно.

alpha ★★★★★ ()
Последнее исправление: alpha (всего исправлений: 1)
Ответ на: комментарий от quickquest

То же про векторы и матрицы.

Механика, сопромат: векторы, матрицы, тензоры.

По-моему, в математике все эти объекты появились раньше. В связи с чем вопрос можно переформулировать: определения, данные математиками, имели вообще какие-то практические применения? Какой-то физический смысл?

tailgunner ★★★★★ ()
Ответ на: комментарий от jtootf

какую тебе точку зрения?

Ту, о которой можно сказать «физический смысл абстракции, называемой „комплексным числом“, таков: ....». Ну или наоборот: «комплексные числа возникли как абстракция, не имеющая практического применения, а потом оказалось, что они полезны для описания таких явлений, как ....» (это твое «во-первых», если я правильно понимаю).

tailgunner ★★★★★ ()
Ответ на: комментарий от tailgunner

По-моему, в математике все эти объекты появились раньше.

Да.

В связи с чем вопрос можно переформулировать: определения, данные математиками, имели вообще какие-то практические применения?

Нет, сначала они появились как ненужные, но потом физики приспособили их как нужные.

quickquest ★★★★★ ()

это тред добра и просвещения.

Пара «видео» добра и просвещения для «школоты», не желающей читать книжки: Chaos, Dimensions.

quickquest ★★★★★ ()
Ответ на: комментарий от quickquest

сначала они появились как ненужные, но потом физики приспособили их как нужные.

Так каким чудом математики умудрились определить операции над чисто уморительными объектами так, что они оказались полезны на практике?

tailgunner ★★★★★ ()
Ответ на: комментарий от tailgunner

Здесь всё как раз вытекает из линейных отображений. У нас есть, например, n-вектор А, в результате какого-то линейного преобразования получается n-вектор B. Это преобразование однозначно определяется n^2 коэффициентами в соответствующей СЛАУ. Эти коэффициенты удобно записываются в виде матрицы n*n. Потом можно заметить, что преобразования могут образовывать композицию, которая так же сохраняет линейность. И именно из этого очень естественно вытекает немного чудной с первого взгляда закон умножения матриц (что есть просто композиция оторбражений). Рекомендую полистать Винберга, Курс алгебры, там всё очень легко и просто на эту тему написано. Кстати говоря, вообще считаю лучшей книгой по алгебре Aluffi, Algebra: Chapter 0, крайне рекомендую всем математикам.

mix_mix ★★★★★ ()
Последнее исправление: mix_mix (всего исправлений: 1)
Ответ на: комментарий от tailgunner

Если вы такие добрые, у меня есть несколько вопросов: из каких практических задач выросла концепция комплексных чисел и почему операции над ними определены так, как они определены?

потому что только такая операция умножения, которые есть для комплексных чисел (x,y) (идентифицируем с x+iy) позволяет получить структуру поля. Любые другие могут дать разве что кольцо.

dikiy ★★☆☆☆ ()
Ответ на: комментарий от quickquest

Они появились как естественные. Потому что когда у тебя есть вектор, и линейная форма, и матрица, и произведение матриц, и вектор матриц, тебе стало необходимо понимать общие свойства этих объектов и разницу между ними.

Почему матрица при смене координат изменяется по одному закону, а обратная к ней по другому, хотя и то, и то вроде бы обычные матрицы два на два? Почему первое похоже на вектор, а второе на форму? Потому что одно ковариантный тензор, а другое контравариантный.

alpha ★★★★★ ()
Ответ на: комментарий от tailgunner

Если вы такие добрые, у меня есть несколько вопросов: из каких практических задач выросла концепция комплексных чисел

ну и еще практически во всех задачах что мне встречались в физике комплексные числа просто облегчают и упрощают счет. В принципе то же можно было бы получить и без них, но труднее.

dikiy ★★☆☆☆ ()
Ответ на: комментарий от tailgunner

комплексные числа возникли как абстракция, не имеющая практического применения, а потом оказалось, что они полезны

как-то так. комплексные числа - это такое самое удобное болото: если вещественные числа всегда позволяют себя складывать, вычитать, умножать и делить (являются полем), то комплексные всегда позволяют ещё и решать уравнения (являются алгебраически замкнутым полем). за счёт этого очень многие вещи куда как проще формулируются и доказываются с помощью комплексных чисел, от которых уже при необходимости переходят к более бедным структурам (если это вообще оказывается возможным)

jtootf ★★★★★ ()
Ответ на: комментарий от alpha

Они появились как естественные.

Да, для математиков, но не для физиков.

Например, закон Гука в 1660 году теоретически мог бы стать обобщённым с тензорами напряжений и деформаций, но не стал, ибо в те времена слишком умных физиков инквизиция жгла на кострах, а математиков не трогали, объявляли умалишёнными :)

quickquest ★★★★★ ()
Ответ на: комментарий от quickquest

Не спорю, но только ты уж совсем резко высказался, как будто понятия с потолка берутся и ни на чем не основаны.

alpha ★★★★★ ()
Ответ на: комментарий от tailgunner

Так каким чудом математики умудрились определить операции над чисто уморительными объектами так, что они оказались полезны на практике?

Это не чудо, а проекция математически непротиворечивых абстрактных объектов на физическую реальность. Те, которые оказываются нужными, оседают в физике, остальные, виртуально существуют в математике.

Теория струн — характерный пример нынешних «ненужных» объектов, некоторые из которых впоследствии могут стать «нужными», как и комплексные числа в средние века.

quickquest ★★★★★ ()
Последнее исправление: quickquest (всего исправлений: 1)
Ответ на: комментарий от quickquest

Ну и собственно почему если физическая, то сразу реальность?

Та же энергия, или скорость, или масса — это такие же «виртуальные» понятия. Тензор кривизны, например, ровно в той же мере физичен.

И движутся математика с физикой не так, что математика во всех направлениях, а физика в реальном. И математика, и физика в одном направлении в том смысле что пытаются обобщить многие частности в единообразной структуре. Уравнения Максвелла как пример. Поэтому то, что они часто идут в ногу - это не чудо и совпадение, а естественный ход событий, потому что цель одна и общая.

alpha ★★★★★ ()
Ответ на: комментарий от alpha

Ну и собственно почему если физическая, то сразу реальность?

По определению.

Поэтому то, что они часто идут в ногу
потому что цель одна и общая.

4.2, ибо: физика — область естествознания, а математика не относится к естественным наукам.

quickquest ★★★★★ ()
Ответ на: комментарий от quickquest

пример нынешних «ненужных» объектов

мой любимый пример объекта, не нашедшего своего места в жизни - октонионы. самая большая геометрическая алгебра, свойства которой проявляются в куче фантастических граничных объектов (исключительные группы Ли, проективное пространство Розенфельда, и многие другие). физическая интерпретация крайне затруднительна

jtootf ★★★★★ ()
Ответ на: комментарий от quickquest

математика не относится к естественным наукам

Арнольд был бы с тобой категорически не согласен

jtootf ★★★★★ ()
Ответ на: комментарий от quickquest

Те, которые оказываются нужными, оседают в физике, остальные, виртуально существуют в математике.

Житейский здравый смысл говорит, что вторых гораздо больше. Это так? Если да, то можно примеры?

tailgunner ★★★★★ ()
Ответ на: комментарий от quickquest

По определению.

Ты сам-то прочитал что по ссылке написано? Там как раз говорится о том, что в современной физике реальность уже совсем не та реальность, что в классической, и в общем-то от математической реальности не сильно отстает.

физика — область естествознания, а математика не относится к естественным наукам

Это никак не противоречит существованию у них общей цели. А также тому факту, что обобщение объектов в математике прямо согласуется с обобщением их же в физике.

Если к примеру векторы и матрицы нашли свое отражение в физике, то тензоры как их обобщение просто не могут в ней не проявиться. Точно также если туда начала пролезать теория групп Ли, то представления классических алгебр Ли там точно также проявятся как примеры каких-то инвариантных базовых сущностей, из которых строится все остальное.

alpha ★★★★★ ()
Ответ на: комментарий от tailgunner

Есть интересный пример теории узлов, которая зародилась в физике, потом ушла в математику, а потом вернулась в физику в совсем ином качестве.

Томсон, который лорд Кельвин, считал что атомы - это эфирные вихри, узлы, которые друг от друга отличаются зацеплением. И потратил кучу времени на решение абстрактных задач по классификации узлов, по разработке теории и составлению таблиц. (Напильник, не к ночи будь помянут, дальше тороидальных вихрей не идет почему-то, а вот Томсон смог).

А потом физические эксперименты показали что никаких вихрей и эфира там нет и в помине. И теорию убрали на дальнюю полку где она сто лет лежала, и вдруг возродилась в совершенно новом качестве, оказавшись связанной и с инвариантами алгебр Ли и с квантовой гравитацией и прочими «горячими» темами.

alpha ★★★★★ ()
Ответ на: комментарий от alpha

Это никак не противоречит существованию у них общей цели.

Ага, ты ещё скажи что и у религии общая с ними цель: новая «святая троица»: естествознание, математика и религия! Аминь! :)

quickquest ★★★★★ ()
Вы не можете добавлять комментарии в эту тему. Тема перемещена в архив.