[Специалистам по всему, алгебра, диффуры, логика]

Нечеткая формулировка, а догадаться не удалось.

Что значит «зависит от параметра»?

В простом одномерном случае например φ(x,u)= u²·x — параметрическое семейство функций, удовлетворяющих уравнению Лапласа, но зависимость от параметра не линейная...

А почему от параметра-то линейным должен быть? Линейно тут по φ, а уж что там внутри по барабану (конечно, если u не зависит от координат по которым лаплас). Или я чего-то не понимаю?

>линейности уравнения Лапласа
а где ссылка на непонятное объяснение?
может линейности оператора

Не понял вопроса. Входит ли u в явную запись оператора Δ?

Если входит, то вот пример нелинейного по u решения φ(u, v) = sin(u) * exp(v).

Если не входит, то вот пример нелинейного по u решения φ(x, y) = u*u.

Хорошо, добавил линейность граничных условий.

Входит ли u в явную запись оператора Δ?

Колюсь: Ландавшиц, том 6 (гидродинамика), §10. Несжимаемая жидкость. Задача 2.

> Входит ли u в явную запись оператора Δ?

Нет.

Пусть в общем случае краевым условиям X(u) соответствует решение φ(u). Формально подставив в предыдущую фразу u=a*v получаем, что условиям X(a*v) соответствует решение φ(a*v). Выписав явно краевые условия, и пользуясь линейностью, непосредственно на краю имеем φ(a*v)=a*φ(v).

Дальше хочется дополнительно допустить, что в некоторой связной области, включающей и края, ряд Тейлора функции φ сходится к ней самой (речь идет о разложении по переменным, явно входящим в оператор Лапаласа). На краю континуум точек, так что коэффециенты ряда Тейлора однозначно определяются значениями функции на краю. Из равенства φ(a*v)=a*φ(v) следует аналогичное равенство между соотвествующими членами ряда Телора функции φ(a*v) и ряда Тейлора функции a*φ(v). А значит, равенство φ(a*v)=a*φ(v) выполнено не только на краю, но и во всей области сходимости.

Наверное, Тейлора можно заменить на что-то более мощное — просто он первым пришел в голову.

Полностью аналогично доказывается φ(u+v)=φ(u)+φ(v)

Ы?

Хм.. а для чайников? :-)

> На краю континуум точек, так что коэффециенты ряда Тейлора однозначно определяются значениями функции на краю.

Ойблин.
4.2
Прошу прощения.

Не могу сообразить, на каком множестве нужно задать значения аналитической функции многих переменных, чтобы определеить ее однозначно.

Отрезка прямой заведомо не достаточно, не смотря на континуум точек. Шара - заведомо достаточно. А вот более тонкое разделение? Какие множествая годятся, а какие нет? И почему? %)

Не могу поверить, ландафшиц такую свинью подложил ;-)

Проще использовать тот факт, что граничная область — сфера, и посмотреть на вид интеграла Пуассона. Линейность функции по параметру там следует автоматически.

>>на каком множестве нужно задать значения аналитической функции многих переменных, чтобы определеить ее однозначно.

Отрезка прямой заведомо не достаточно, не смотря на континуум точек. Шара - заведомо достаточно. А вот более тонкое разделение? Какие множествая годятся, а какие нет? И почему?

Эх, хороший вопрос. Тоже интересно.

Топик не читал, но открыл Ландафшица. Дело тут очень простое. Самое главное — показать эквивалентность этой задачи вопросу о единственности решения уравнения Лапласа с соответствующими гранусловиями. Делается это просто. Берем два решения для задачи(w и v) и утверждаем, что φ(w + v) будет не равно φ(w) + φ(v). Тогда вычитая соотвествующие уравнения Лапласа и граничные условия, получаем нетривиальное решение уравнения Лапласа для нулевых граничных условий. Что эквивалентно неединственности решения уравнения Лапласа. Ферштейн?

Это выглядит уже лучше, надо подумать.

Да чего тут думать. Логика: предполагаем нелинейность решения; используем линейность уравнения и гранусловий; получаем нетривиальное решение для тривиальных гранусловий, однако тривиальное решение существует всегда; таким образом получаем неединственность решения. Одна-а-ако, как следует из ку-у-урса урматов и кучи умных кни-и-ижек, решение должно быть единственно. Профит!

а что если φ(w + v) = φ(w) + 2φ(v) ?

или

φ(w - v) = φ(w) + φ(v)

или ещё что-нибудь.

> Это выглядит уже лучше

Ну да, точно. А то у меня линейность лапласиана вообще не использовалась..

Ну и? В первом случае берем φ(w + v) - (φ(w) + φ(v)) = φ(v). Отсюда получаем, что решением с нулевыми гранусловиями может служить φ(v). А так же и 0. Отсюда неединственность.

Интересно, а форумы специально для таких вещей бывают? Это не намек, пусть и здесь будет, если немного.

Чувствуя, что мозги плавятся, комменты пролистнул.
Я не знаю, что такое уравнение Лапласа и комменты понимаю лишь наполовину, хотя когда-то занимал неплохие места на олимпиадах по математике. ЧЯДНТ?

Интересно, а форумы специально для таких вещей бывают?

http://dxdy.ru/

Мдя, оказалось все просто... В его рассуждениях и сферичность не обязательна, как и следовало ожидать.

P.S. Если интересует гидродинамика, брать Ландафшица — моветон. Самый лучший ботник — Кочин, Кибель, Розе.