тьфу, всё перепутал... тогда расширим диагональную процедуру следующим образом: элементы конечного множества добавим к элементам континуального и упорядочим. Число, не совпадающее ни с одним из них, будем строить по тем же правилам и в результате опять же получим, что оно не будет совпадать ни с одним из остальных, т.е. мн-во будет континуально.
Континуальное множество = множество мощности континуум = множество, для которого существует биекция между ним и отрезком [0,1]. Это по определению.
Добавлять элементы будем по одному - конечность второго множества нам это позволяет.
Таким образом, нужно всего лишь доказать, что множество [0,1] U {x}, где x не принадлежит [0,1], континуально. То есть, построить биекцию [0,1]U{x} -> [0,1].
Строим:
f(x) = 1
f(1/2^n) = 1/2^(n+1), если n - целое
f(a) = a, если a не представляется в виде 1/2^n, где n - целое.
Построение обратной биекции оставляется в качестве домашнего упражнения.
> Континуальное множество = множество мощности континуум = множество, для которого существует биекция между ним и отрезком [0,1]. Это по определению.
> Добавлять элементы будем по одному - конечность второго множества нам это позволяет.
> Таким образом, нужно всего лишь доказать, что множество [0,1] U {x}, где x не принадлежит [0,1], континуально. То есть, построить биекцию [0,1]U{x} -> [0,1].
>Строим:
> f(x) = 1
> f(1/2^n) = 1/2^(n+1), если n - целое
> f(a) = a, если a не представляется в виде 1/2^n, где n - целое.
> Построение обратной биекции оставляется в качестве домашнего упражнения.
Суть его слов я уловил - там есть намеки на правильный образ.
Другое дело любой уважающий себя математик за такое гуманитарное косноязычие заехал бы с ноги по лицу - и был бы прав.
>любой уважающий себя математик за такое гуманитарное косноязычие заехал бы с ноги по лицу
я это писал в страшной спешке, и не было времени говорить подробно - только саму суть передать. Это утверждение можно было доказать собственно путём доказательства континуальности [0, 1] - то бишь Канторовской диагональной процедурой, слегка изменив её для конкретного случая. Ну а можно было бы строить биекцию между [0,1]U{x1...xn} и [0,1] - результат тут один.