помогите доказать

На первый взгляд это очевидно. На второй кажется что в гугле нечто подобное найти *можно*.

построй и продемонстрируй биекцию между полученным множеством и множеством натуральных чисел, и будет тебе счастье.

> На первый взгляд это очевидно. На второй кажется что в гугле нечто подобное найти *можно*.

человек произнёс заклинание 10го уровня призыва gkrellm. ты своим присутствием его утроил.

множество натуральных чисел не континуально, а счетно

>построй и продемонстрируй биекцию между полученным множеством и множеством натуральных чисел

Я что-то пропустил и континуальное множество - это не множество мощности "континуум"?

P.S. http://e-science.ru/math/theory/?t=555

тьфу, всё перепутал... тогда расширим диагональную процедуру следующим образом: элементы конечного множества добавим к элементам континуального и упорядочим. Число, не совпадающее ни с одним из них, будем строить по тем же правилам и в результате опять же получим, что оно не будет совпадать ни с одним из остальных, т.е. мн-во будет континуально.

Теперь у нас будут три gkrellm'а?

Континуальное множество = множество мощности континуум = множество, для которого существует биекция между ним и отрезком [0,1]. Это по определению.

Добавлять элементы будем по одному - конечность второго множества нам это позволяет.

Таким образом, нужно всего лишь доказать, что множество [0,1] U {x}, где x не принадлежит [0,1], континуально. То есть, построить биекцию [0,1]U{x} -> [0,1].

Строим:

f(x) = 1

f(1/2^n) = 1/2^(n+1), если n - целое

f(a) = a, если a не представляется в виде 1/2^n, где n - целое.

Построение обратной биекции оставляется в качестве домашнего упражнения.

Девушка, что вы плетёте???

> Континуальное множество = множество мощности континуум = множество, для которого существует биекция между ним и отрезком [0,1]. Это по определению.

> Добавлять элементы будем по одному - конечность второго множества нам это позволяет.

> Таким образом, нужно всего лишь доказать, что множество [0,1] U {x}, где x не принадлежит [0,1], континуально. То есть, построить биекцию [0,1]U{x} -> [0,1].

>Строим:

> f(x) = 1

> f(1/2^n) = 1/2^(n+1), если n - целое

> f(a) = a, если a не представляется в виде 1/2^n, где n - целое.

> Построение обратной биекции оставляется в качестве домашнего упражнения.

У вас в мозгу обнаружена мутота.

{x1,x2,...,xN} - наше конечное множество. Сюръекция [0,1] U {x1,x2,...,xN} => [0,1] задается следующими правилами:

xi => 1/(2^i);

Если (существует целое k такое что x=1/(2^k) )то (x => x/(2^N))иначе (x => x);

Инъективность отображения тривиальна - а значит имеем биекцию.

>>Девушка, что вы плетёте???

Суть его слов я уловил - там есть намеки на правильный образ. Другое дело любой уважающий себя математик за такое гуманитарное косноязычие заехал бы с ноги по лицу - и был бы прав.

>любой уважающий себя математик за такое гуманитарное косноязычие заехал бы с ноги по лицу

я это писал в страшной спешке, и не было времени говорить подробно - только саму суть передать. Это утверждение можно было доказать собственно путём доказательства континуальности [0, 1] - то бишь Канторовской диагональной процедурой, слегка изменив её для конкретного случая. Ну а можно было бы строить биекцию между [0,1]U{x1...xn} и [0,1] - результат тут один.