Взаимно-однозначное соответствие [1,0] и [1,0)

только [0,1] и [0,1).

Самое тупое.

[0,1]\Q = [0,1)\Q, соответственно, на данных подмножествах отображение будет f(x) = x

Ну а [0,1] ^ Q - счетно, и [0,1) ^ Q - счетно (упр). Соответственно, существует отображение g из [0,1]^Q в [0,1)^Q.

Конечное отображение строим в виде h(x) = x, если x не лежит в Q, g(x) иначе.

как решали мы:

А=[0;1); B=[0;1]

идея:
1 из В <-> 1/2 из А

1/2 из В <-> 1/4 из А

...

получаем:
       /
       | (1/(n+1)), x = 1/n, n из N
f(x) = {
       | x, x из [0;1]\{1/n, n из N}
       \

Что такое Q? Кстати [0,1] это множество мощности континуум.

Q - рациональные числа: 2, 2/4, 1/4, 33432432432/143247329865, ....

Ну да, собственно, та же идея, только у тебя проще :)

Идея в том, чтобы из каждого множества выделить по счетному подмножеству так, чтобы оставшиеся множества были равны.

ага: углубился - в принципе то же самое.

Подробно так: Нумеруем все рациональные числа первого множества в последовательность {An}(n=1..infinity): 0,1,1/2,..., второго {Bn}(n=1..infinity): 0,1/2,..., где после целых рациональные числа упорядочваются по "высоте". Отображение строим так. Если число иррациональное, то оставляем его без изменения (x->x). Если число рациональное, по отображение такое(An=x -> Bn). Все!