LINUX.ORG.RU
решено ФорумTalks

sin n ~ x всегда выполнимо?

 


1

2

для любого ли x существует такое целое n, что его можно сколь угодно точно приблизить. То есть для любого epsilon>0 существует n с

|sin n - x|<epsilon

правильно ли я понимаю, что это опирается на нормальность числа pi, которая еще не доказана?

★★☆☆☆

неравенство треугольника в пространстве без скалярного произведения (dikiy)

sin n ~ x всегда выполнимо? (dikiy)

ты экзамен сдаешь или просто торкнуло?

upcFrost ★★★★★ ()
Ответ на: комментарий от TheAnonymous

давайте этот тривиальный случай выкинем.

собсно идея была такая, чтобы показать (попытаться), что множество предельных точек последовательности exp(i n) это вся окружность.

dikiy ★★☆☆☆ ()
Ответ на: комментарий от dikiy

задача сводиться к выполнению равенства

|2pi k - n| < epsilon

dikiy ★★☆☆☆ ()

Да. Разложи в ряд фурье например.

dmxrand ()
Ответ на: комментарий от dikiy

Покроет. Может не Фурье, а тейлОр тебя убедит. там x-a будет приближаться. а так как он бесконечный..... а еще и делим на факториал. Там пристрелка такая, что вот наверное давай посчитаем сходимость ряда. Кстати. Радиус ряда посчитай.

dmxrand ()
Ответ на: комментарий от TheAnonymous

Если даже ты не можешь так сразу дать ответ, чего ждать от студентов-первокурсников?

мыслей всяких. Пусть думать учатся.

dikiy ★★☆☆☆ ()
Последнее исправление: dikiy (всего исправлений: 1)
Ответ на: комментарий от dikiy

Зафиксируй X. И считай сходимость. Если сходится, то синус туда попадет. Но я думаю, что да. Но час ночи я могу и ошибаться. А там для любого эпсилон.... найдется такое n. Там теорема о сходимости что гласит про радиус?

dmxrand ()
Ответ на: комментарий от dmxrand

блин. Давай упростим.

можно ли найти такое n, чтобы выполнялось

|sin n| < epsilon ?

тут сходимость тебе не поможет, насколько я понимаю.

dikiy ★★☆☆☆ ()
Последнее исправление: dikiy (всего исправлений: 1)
Ответ на: комментарий от dikiy

Беру паузу, но вот чую что .... тут наверное еще теорема об отсутствии атомов на прямой. ну берем от 0 до 9 и делим на 10 и получаем значения синуса от 0 до 1. и всякие простые числа. вопрос как доказать я в час ночи не соображаю. но блин классный вопрос

dmxrand ()
Ответ на: комментарий от dmxrand

А! Еще а разложи логарифм. Он будет от 0 до 1 непрерывен? Представь его в виде синусов.

– Ребе, у меня дохнут куры. Что делать?
– Кидай им зерно в круг, предварительно его начертив.

Еврей начертил круг, стал кидать в него зерно, но куры все равно дохли. Тогда он опять пришел к ребе:

– Что делать?
– Нарисуй квадрат и бросай зерно в квадрат. Еврей нарисовал квадрат, стал бросать в него зерно, но куры все равно дохли.

– Что делать, ребе?
– Нарисуй треугольник и бросай зерно в треугольник.

Еврей нарисовал треугольник и стал бросать туда зерно. Куры сдохли все.

– Ребе, все куры сдохли.
– Жалко, у меня было еще столько идей.



без обид. Просто вспомнилось :D

dikiy ★★☆☆☆ ()
Ответ на: комментарий от dikiy

Да было про нарисуй квадрат. Но я не обижаюсь. Я в курсе, что двоечник был.

dmxrand ()

альфу тоже иррациональную. но маааленькую

dmxrand ()
Ответ на: комментарий от dmxrand

по ссылке о том, что нет n, чтобы sin n был рациональным. Но это в принципе не помешает ему быть меньше любого epsilon. Если последнее вообще верно.

dikiy ★★☆☆☆ ()
Ответ на: комментарий от dikiy

ты если решишь отпишись. а то я теперь спать не буду

dmxrand ()

хм, а я и не знал, что есть такая штука как мера иррациональности. Мне кажется, что от неё зависит, она для числа пи кстати тоже неизвестна, только оценки. Но въехать в это сейчас не могу.

WerNA ★★★★★ ()

Ваш вопрос можно переформулировать так. Является ли множество {sin(n) | n \in N} всюду плотным в [-1, 1] со стандартной метрикой. Кажется, я такое задание решал на 3 курсе и ответ положительный. По крайней мере сегодня ко мне подходила студентка с похожим заданием, только с sin(sqrt(n)), но там проще (вроде, через теорему Лагранжа легко показать). Завтра попробую доказать.

aquadon ★★★★★ ()
Ответ на: комментарий от dmxrand

Спасибо, но это очевидно. Я лишь написал, что измененная таким образом задача решается проще.

aquadon ★★★★★ ()
Ответ на: комментарий от aquadon

че-то мне кажется, что ответа нет. Но ты попробуй вспомнить там.

По идее вопрос о плотности exp( i n) на окружности сводится к

phi - (n - 2pi k) < epsilon. Нормальность pi оченивдно достаточна для решения этого неравенства. Что-то мне подсказывает, что также и необходима.

exp (i n) сводится по идее также к предыдущему вопросу после применения формулы Муавра.

dikiy ★★☆☆☆ ()
Ответ на: комментарий от dikiy

Арнольд - Обыкновенные дифференциальные уравнения, стр. 176

Подлец ты. Я по ссылке это читал. Ладно придется ночью читать Арнольда.

dmxrand ()
Ответ на: комментарий от aquadon

Я бы не сказал, что это «так просто». После чужого объяснения многие идеи кажутся простыми.

да реально же просто. По сути похоже на задачу с бильярдным шаром.

dikiy ★★☆☆☆ ()

Нет, это опирается на иррациональность числа \pi, которая вполне себе доказана.

Miguel ★★★★★ ()
Ответ на: комментарий от aquadon

Не слышал о такой. Что-то об отскакивании от стенок?

да. Как надо ударить шар, чтобы его траектория была замкнутой.

dikiy ★★☆☆☆ ()
Ответ на: комментарий от dikiy

От противного же. Если какая-то точка не является предельной, значит есть её такая ненулевая окрестность (написать отрицание факта того, что точка предельная). Отсюда вывести рациональность pi и получить противоречие.

unanimous ★★★★★ ()
Вы не можете добавлять комментарии в эту тему. Тема перемещена в архив.