Как сходить и выиграть

Я думаю, что в реальность, но все остальные скажут h7-g8.

Эм.
1. Есть Bh7 - e4. Лень запускать какой-нибудь калькулятор для этого.
2. Есть ходы а-ля Rd1-f1, но они слабее.

h7-g8

И что это даст?

Эм, ой.

А почему именно так?

Ох, ну и тяжелый же вопрос.
Сразу говорю, калькулятора нет и доски под рукой нет:
W: Bh7-e4+ B: Kh8-g8
W: Rh5-g5+ B: Kg8-h8
Дальше выводится ладья с d1 и неспешно ставится мат. Король черных заперт на h8, остальные фигуры черных на 8-й горизонтали, вывести их не успеть.
Если у кого-то есть калькулятор - пусть проверят.

плюсану е4.

Дальше выводится ладья с d1

f8 g8?

Так, ход белых. Значит, Rd1-f1, чтобы обезопасить пешку от коня на e8.
Если поставить Rf8-g8, то будет заперт выход короля и ход Rg5-h5 становится последним. Мат

Что по поводу

1. Bf5+ Kg8 2. Rd3 Bxf5 3. Rxf5 Nxf6 4. Rg3+ Kh7 
5. Rxf6 Rh8 6. Rxf7+ Kh6 7. Rf6+ xxx 8. Rxd6

Не особо эффективно. Не думаю, что составитель задачи подразумевал на такой ответ.

E2-E4

В ближайшие 6-7 ходов мата не будет.

Ладью можно подхоботить халявную.

Сходишь под себя — проиграешь.