Вопрос к математикам - экспоненциальная функция матрицы

Я конечно не математик, но страничка http://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_exponential выглядит достаточно внушительно. :)

Выглядит она, может быть, и внушительно, только вот моя проблема там не решается :)

Находишь собственные числа и матрицу перехода, собственные числа возводишь в экспоненту, матрицы домножаешь.

Ну это всё понятно, можно как и в общем случае, диагонализировать и т.д. Но для кососимметричной матрицы ДОЛЖНА быть явная формула :)

Тебе что, триллион этих матриц надо диагонализовать? Возьми GSL и не мучайся.

Не специалист, но:

Кососиметрическая матрица задает линейное преобразование - векторное умножение на некоторый фиксированный вектор (угловая скорость). Экспонента от матрицы - поворот при заданной угловой скорости за еденицу времени.

Нужно выцепить координаты этого вектора, затем с помощью квартенионов посчитать образы базисных векторов - получится искомая матрица.

Еще можно через интерполяцию (экспонента от матрицы 3x3 есть многочлен не более чем второй степени от самой матрицы). В данном случае коэффециенты не сложно найти.

К вопросу о степенном ряде. В любом случае что нибудь из exp/sin/cos для чисел посчитать все равно придется. А они тоже считаются через ряд.

> А они тоже считаются через ряд.

Не всегда. Матсопроцессоры используют несколько другие алгоритмы...

> Еще можно через интерполяцию (экспонента от матрицы 3x3 есть многочлен не более чем второй степени от самой матрицы).

коэффициенты многочлена будут разными для разных матриц.

> Кососиметрическая матрица задает линейное преобразование - векторное умножение на некоторый фиксированный вектор (угловая скорость). Экспонента от матрицы - поворот при заданной угловой скорости за еденицу времени.

да, это идейно самое правильное решение

Идею тут уже подсказали, но попробую её развить:

Действительно кососимметрические матрицы 3x3 образуют алгебру Ли so(3), которой соответствует группа Ли SO(3).

Существует канонический эпиморфизм SU(2) -> SO(3), т.е. любой элемент SO(3) отвечает минимуму одному элементу SU(2) (точнее, двум). Группа SU(2) пожет быть представлена как матричная группа унимодулярных комплекснозначных матриц 2х2, а их диагонализовать можно легко.

Хотя по мере того, как я пишу ответ, у меня возникает стойкое ощущение, что задача давно решена в явном виде через D-функции Вигнера. Но программа реализуется относительно легко.

Всем спасибо. По вашим подсказкам нашел то, что искал. Интуиция меня не подвела. То, что я искал, называется формулой Родригеса.

А можно конкретную ссылку? Чего-то гуголь про формулу-1 вещает :)

Извиняюсь, нашёл :)