О применении теории групп

мат ожидание - кольцо,

Матожидание - число. Кольцо - это множество с операциями. Одно другим являться не может в принципе.

Например, мат ожидание - кольцо, откуда сразу же вырисовываются основные свойства матожидания.

ну, у кольца есть еще всякие другие свойтсва, например кольцо главного идеала. Я что-то слабо представляю себе, как это может быть полезно в вычислении матожиданий...

но вообще мысль правильна. В математике часто бывает очень удобно показать принадлежность чего-то к определенной структуре и потом получить хорошие свойства. Например в спектральной теории неограниченных операторов недавно видел, как показывается принадлежность определенного ряда из операторово к бореллевой алгебре, и в результате можно работать с рядами операторов как с обычными степенными.

Или натравить всю теорию интеграла Лебега на интегралы Стильтьеса по функции-проектору на собственное пространство оператора... (я понимаю, что говорю по-китайски, но уж как есть :)

В общем случае - это конечно не какая-то магия и волшебство. Можно часто обойтись и без этого. И к тому времени, как ты додумываешься до такой аналогии сначала все равно уже доказал все «напрямую». Просто таким образом становится все красивее. Довольно редко, когда можно получить реально новые и неожиданные результаты с такой помощью. Один из немногих примеров - теория Галуа.

Кроме всего прочего интересна связь между теорией графов и линейной алгеброй. Ведь граф представим в виде матрицы. И на эту матрицу можно натравить уже методы этой алгебры. Таким образом можно получить очень интересные результаты. ЕМНИП, в теореме о подсчете количества минимальных остовных деревьев как раз используется подобные идеи.

Так или иначе - в 90% случаев (число с потолка :) эти вещи просто помогают сделать что-то быстрее, но не открывают новые горизонты познания.

Чем выгодна теория групп

вот чем

Точнее просто помня что свойства ассоциативности (сложения/умножения) и дистрибутивности соответствуют св-вам кольца. Получается что вообще многие структуры имеют похожие наборы свойств, строки с операцией конкатенации - моноид, модулярная арифметика - группа и т.д.

Точнее просто помня что свойства ассоциативности (сложения/умножения) и дистрибутивности соответствуют св-вам кольца. Получается что вообще многие структуры имеют похожие наборы свойств, строки с операцией конкатенации - моноид,

вот кстати, насчет моноидов. Понятие моноида было введено, афаик, в том время когда люди решили характеризовать задачи, для которых так называемые «жадные» алгоритмы дают оптимальный результат. Было известно много таких случаев, и решили это дело обобщить. Частный случай этого - остовные деревья. Они образуют моноид, и в результате жадный алгоритм дает нам минимальное остовное дерево. То есть теперь вместо того, чтобы доказывать, что жадный алгоритм будет работать достаточно показать, что исследуемая тобой структура - это моноид.

«жадные» алгоритмы

Да, читал когда-то про такое в учебнике по дискретке. Там вроде был матроид - т.е. семейство независимых подмножеств мн-ва.

а, точно блин. попутал я уже :)

В математике часто бывает очень удобно показать принадлежность чего-то к определенной структуре и потом получить хорошие свойства.

Ой, а мой любимый пример - роль «свёрточной алгебры» и обобщенных функций медленного роста в операционном исчислении. Я как прочитал Владимирова, так сразу и офигел!

ЩТА? Матожидание - это интеграл, балбес.

Но да, из того, что это интеграл, сразу следует куча свойств. То есть, как сказал выше dikiy, если верно классифицировать сущность, можно получить профит. Чтобы их классифицировать, учат матан)

Фап на моноиды (и, как следствие, монады) связан с тем, что для множества функций относительно их композиции моноидальные свойства позволяют увеличивать «сложность», не задумываясь о деталях (ну и возможные всякие другие прикладные плюшки, вроде возможности проверки и вывода типов в статике, суперкомпиляции, и т.д.)

Интеграл — это функционал, хотел бы я посмотреть на матожидание, представленное в виде функционала.

эм. функционал на пространстве распределений вероятности же.

Хотел бы я посмотреть на матожидание (при недискретном распределении) случайной величины, записанное иначе.

из того, что это интеграл, сразу следует куча свойств.

Ага, особенно св-во дистрибутивности матожидания следует из того что это интеграл

мат ожидание - кольцо

может ты хотел сказать, что известные тебе функции расчёта мат ожидания образуют кольцо? Да, это good way, доказать, что X является известным Y, откуда следуют новые(для тебя) свойства X. С другой стороны, ты мог бы вывести эти свойства непосредственно из X, не привлекая Y.

На самом деле, мат ожидание по определению аддитивная(ака линейная) величина(потому что среднее), и потому ничего удивительного, что мат ожидания образуют кольцо. Т.е. по большому счёту, это нам ничего не даёт нового.

Ага, особенно св-во дистрибутивности матожидания следует из того что это интеграл

дистрибутивность следует из линейности.

ну как сказал святой Степанов при тролинге ООП-религии

настоящие исследователи начинают с интересующих (и неочевидных как правило взаимосвязей-утверждений) утверждений которые в процессе обоснования сводят к некоторому числу утверждений которые воспринимаются как очевидно-верные , последнии оказываются(становятся быть) аксиомами , а первые теоремами в данной аксиоматике.

в этом смысле взгляд на проблему посредством инструментов «мира групп» позволяет получить все уже доказанные следствия из «бедного мира групп» и увидеть их в конкретном(читай перегруженном частностями(которые интересны но пока не найденно (какое либо иное)удобное обобщение(с другими частностями из какой нибудь совсем левой теории) не понятны))

мире из которого проблема.

упс. прощу прощение , что «цитирую» Анафем Стивенсона Нила

Ты что, идиот? Что ты несешь?

В общем-то, с вероятностью в 99% доказательство будет выглядеть как «взяли частный случай У, не называя У У-ом, доказали Х, не додумались обобщить».

я вот что ещё хочу сказать: правило переноса при сложении в столбик удовлетворяет определению коцикла; фактор коциклов по кограницам - группа когомологий. то, что ты написал, не является использованием. ты, грубо говоря, сказал

Например, мат ожидание - дистрибутивно, откуда сразу же вырисовывается то, что оно дистрибутивно

ты ничего не доказал, не узнал ничего нового и не получил никакого инструмента для облегчения работы. ты просто заменил одно слово другим

и я, к слову, не совсем понимаю, на каком основании. какие операции над мат ожиданием удовлетворяют аксиомам кольца?

Интеграл — это функционал,

Только если рассматривать что-то, имеющее аргумент функцию.

ну как сказал святой Степанов при тролинге ООП-религии

STL — ересь, а Степанова надо сжечь на костре.

В общем-то, с вероятностью в 99% доказательство будет выглядеть как «взяли частный случай У, не называя У У-ом, доказали Х, не додумались обобщить».

ну типа того.

и я, к слову, не совсем понимаю, на каком основании. какие операции над мат ожиданием удовлетворяют аксиомам кольца?

ну он типа дистрибутивность заметил, как в известных ему кольцах.

Дался вам этот матан.

Ковариация - это скалярное произведение, а дисперсия - это скалярный квадрат. Так что учить надо линейную алгебру.

Картинки из МакЛейна — 1, 2, 3, 4.

Если полугруппы про ассоциативность (линейность операций), моноиды — ассоциативность с единицей (существование идентичной операции), то группы про обратимость — Aut(-) (симметрии, абстрактно), С^op -> Grp (симметрии сохраняющие структуру). Всё что даёт утверждение «X — группа» эти констатирование этих свойств и теоремы теории групп бесплатно, что может, конечно, быть полезно для какого-то дальнейшего изучения само по себе или с дополнительными построениями.

А кольца изучает теория колец.

какие операции над мат ожиданием удовлетворяют аксиомам кольца?

M[X+Y]=M[Y+X]
M[(X+Y)+Z]=M[X+(Y+Z)]
M[(X*Y)*Z]=M[X*(Y*Z)]
M[X*(Y+Z)]=M[X*Y+X*Z]
И еще слева(?) дистрибутивность. И еще наличие нейтрального и противоположного объекта.

На самом деле мне не совсем понятно как это правильно формализовать, чтобы свести к кольцу. Просто матожидание само по себе является отношением (операцией). Это просто аналогия с кольцом (выше вроде написал)

Вот ещё:

Как раздел абстрактной алгебры:

http://en.wikipedia.org/wiki/Semigroup#History

Языки и автоматы:

Любой язык с операцией конкатенации — моноид, не группа.

http://en.wikipedia.org/wiki/Free_monoid

http://en.wikipedia.org/wiki/Syntactic_monoid

http://en.wikipedia.org/wiki/Krohn–Rhodes_theory

http://www.math.vanderbilt.edu/~msapir/stuart/pin.pdf

http://www.liafa.jussieu.fr/~jep/PDF/HandBook.pdf

Параллелизм:

http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.39.8192

Ясно. Вот есть теория групп, колец, решеток. Эти теории вообще имеют практическую пользу в computer science? Существует ли обзорная статья (для самых маленьких) на эту тему?

у меня есть для вас эпичный ролик на эту тему https://www.youtube.com/watch?v=mqAf5lOJZew

теория решеток

любая булева алгебра является решёткой. псевдобулева алгебра (алгебра Гейтинга) является решёткой (решёткой Брауэра), и используется как семантическая модель для интуиционистской логики, лежащей в основе современных систем автоматического доказательства теорем (и верификации кода): Agda, Coq, Idris, Epigram

теория групп, колец

теория Галуа, как основа теории кодирования и (в некотором смысле) теории информации, опирается на группы и кольца; однако большая часть теории as is тебе на практике вряд ли пригодится. разве что твоя предметная область - скажем, вычислительная комбинаторика

обзорная статья (для самых маленьких)

есть хорошая книжка

ты нарисовал свойства случайных величин, а не мат ожидания

Это просто аналогия

ну ок

M[X+Y]=M[Y+X]

Это не аксиома кольца. Аксиома кольца - это «X+Y = Y+X». Что, конечно, выполняется для случайных величин тоже, и да: случайные величины образуют кольцо. Только матожидание тут ни при чём.

http://en.wikipedia.org/wiki/Expected_value#Properties

K-⋆-алгебра A случайных величин будучи коммутативной будет кольцом, ожидание E : A → K — линейным функционалом на нём, для умножения тоже (в случае независимых величин), так что будет гомоморфизмом колец между A и K.

так что будет гомоморфизмом колец между A и K

Не будет. Для гомоморфизма нужно не "(в случае независимых величин)", а всегда.

теория решеток

Ещё можно добавить:

http://en.wikipedia.org/wiki/Domain_theory

http://en.wikipedia.org/wiki/Galois_connection

всегда

А я сказал

в случае независимых величин

Можем же мы рассмотреть алгебру A исключительно независимых случайных величин.

А вообще да, ковариация это контраргумент. Но вообще есть и некоммутативная теория вероятности.

http://abstract.ups.edu/download.html

Можем же мы рассмотреть алгебру A исключительно независимых случайных величин.

Не можем. Ибо «независимость» - это не свойство случайной величины, это свойство ПАРЫ случайных величин.

Что мы действительно можем - это рассмотреть некоторую подалгебру в алгебре случайных величин, такую, что все входящие в неё величины независимы. Таких подалгебр много, и выделить из них одну какую-то без дополнительных условий не получится. Но тогда да, гомоморфизм будет.

А вообще да, ковариация это контраргумент.

Чего?

«независимость» - это не свойство случайной величины, это свойство ПАРЫ случайных величин.

Я это и сказал

алгебру A исключительно независимых случайных величин

если они все исключительно взаимонезависимы — пожалуйста.

Чего?

http://en.wikipedia.org/wiki/Covariance ? Имеет место быть в общем случае, E[X*Y] != E[X]*E[Y].

Правда там было более общее

E[(X*Y)*Z] = E[X*(Y*Z)]

Но тогда всё равно получается какой-то функционал между кольцами, в общем случае даже не гомоморфизм.

Я фигню спорол, извини. Такая алгебра только одна.

Дело в том, что нам потребуется, в частности, независимость любой случайной величины с ней самой. А это означает, что эта величина — константа.

То есть, у нас будет алгебра констант.

Просто матожидание само по себе является отношением (операцией)

ну а при чём тут «кольцо»? У кольца, по большому счёту всего одно свойство: оно замкнуто. Т.е. результат аддитивной функции над любым элементом кольца принадлежит этому кольцу. Отсюда и твои аддитивные и мультипликативные соотношения берутся.

теория Галуа, как основа теории кодирования и (в некотором смысле) теории информации, опирается на группы и кольца;

на частный случай колец, на поля. Т.е. такое кольцо, в котором операция обратная «умножению» является однозначной и отображается внутрь того же поля(т.е. «деление» замкнуто).

Если у тебя «деление» не замкнуто и/или неоднозначно, то кодер-то ты напишешь, а вот декодер — увы.

когда вырасту хочу стать таким же умным

на частный случай колец, на поля

не только. теория Галуа над коммутативными кольцами (и даже более общими структурами, вроде колец с единицей) разрабатывается достаточно давно

впрочем, речь была не о том: при построении нужных конечных полей ты, как минимум, будешь строить кольца многочленов над базовым полем и факторизовать их по максимальному идеалу

не только. теория Галуа над коммутативными кольцами (и даже более общими структурами, вроде колец с единицей) разрабатывается достаточно давно

я не теоретик, я практик. Насколько я знаю, на практике используются только поля. Ну а обобщать можно что угодно, и куда угодно. Впрочем спасибо, ознакомлюсь на досуге.

впрочем, речь была не о том: при построении нужных конечных полей ты, как минимум, будешь строить кольца многочленов над базовым полем и факторизовать их по максимальному идеалу

угу. Не обязательно по максимальному, кстати. И что с того? Эти кольца будут полями по определению.

Не обязательно по максимальному

кольцо классов вычетов R/I коммутативного кольца с единицей есть поле тогда и только тогда, когда I - максимальный идеал

Эти кольца будут полями

нет, конечно. полями будет только результат их факторизации

кольцо классов вычетов R/I коммутативного кольца с единицей есть поле тогда и только тогда, когда I - максимальный идеал

да, я хрень спорол.

ты такой классный! Как скажешь! Расходимся, а в протокол запишем: всем учить линейку.