Какую версию Убунту (или другой дистрибутив) выбрать, чтоб установить драйвера на мою старезную карту?

Используй свободный драйвер. Ничего устанавливать при этом не требуется. https://help.ubuntu.ru/wiki/%D1%81%D0%B2%D0%BE%D0%B1%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%B4%D1%80%D0%B0%D0%B9%D0%B2%D0%B5%D1%80_%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%82_amd

Так что и понижать версию ubuntu совершенно не зачем.

Не поддерживается в проприетарных драйверах от AMD. Свободные же дрова поддерживают. И работают, кстати. Не знаю конкретно по твоей версии, но более старые норм работали.

Какие драйвера? Проприетарные? Есть свободные драйвера.

А нафига сторонний, неужели в убунту нет в родных репах свободных драйверов для amdgpu

Давно не использую убунту. Скинул ему ссылку на wiki, почему там указано подключать сторонний ppa понятия не имею.

amdgpu

Ему помойму вообще придётся использовать xserver-xorg-video-ati

Короче, есть свободные драйвера (открытый код, написаны обычно энтузиастами) и проприетарные (закрытый код, написаны вендором). У nVidia и AMD/ATI есть и те и другие, у Intel — только свободные, но они написаны вендором.

Так, вот, прикол в том, что у nVidia проприетарные лучше свободных по качеству, а у AMD/ATI — обычно наоборот.

При этом все мыслимые свободные драйвера обычно уже есть из коробки. Потому перед тем, как ставить сторонний драйвер на AMD/ATI, нужно проверить — а не работает ли и так?

5400 давно не поддерживается. можно попробовать radeonsi или старый каталист, если система тоже старая.
amdgpu эту серию не поддерживает, а каталист не собирается давно

Старую версию.

В 14.04 был fglrx и в 8 дэбчике. 14-ка не поддерживается уже год, а дэбчик заканчивается этим летом, хотя для старья сойдёт.

Добро пожаловать в Slackware, тут еще «поддерживается поддержка» не только 14.2, вышедшей 30.06.2016, (правда для catalyst-13 надо иксы сдаунгрейдить чутка), но и 14.1 (выпуск 07.11.2013), и 14.0 (выпуск 28.09.2012).