LINUX.ORG.RU
ФорумTalks

[разрыв шаблона] 1+2+3+4+...= -1/12


0

1

Нашел тут на вики статью:
http://en.wikipedia.org/wiki/1_+_2_+_3_+_4_+_…
Она вызвала у меня разрыв шаблона
Там говорится:

Although the full series may seem at first sight not to have any meaningful value, it can be manipulated to yield a number of mathematically interesting results, some of which have applications in other fields such as complex analysis, quantum field theory and string theory. For example, zeta function regularization gives the result

1+2+3+4+... = - 1/12

Да, я знаю, например, про ряд Гранди (1 - 1 + 1 - 1 + ...), сумма которого (в зависимости от способа вычисления) может быть и 0 и 1, и 1/2. Но, в случае ряда Гранди, в общем-то, можно понять, почему такие ответы получаются.
С Римановской дзета-функцией хоть и знаком, но довольно поверхностно. В литературе по ней встречаются странные и необычные результаты, но, опять же, они лишь кажутся такими.
Про вышеописанный результат ничего толкового нагуглить не удалось.
Почему так получается? Где-нибудь есть вывод данного результата?

★★★★★

Прямо там же в википедии: «The series can be summed by zeta function regularization. <...> This sum diverges when the real part of s is less than or equal to 1, but when s = −1 then the analytic continuation of ζ(s) gives ζ(−1) as −1/12.»

userid2 ()
Ответ на: комментарий от userid2

Это да, но все-таки, как математики объясняют такой результат? Если складываем 2 положительных числа, то в результате получим третье положительное число. Откуда тут берется минус?

kovrik ★★★★★ ()

-1/12 получается продолжением по непрерывности.

soomrack ★★★ ()
Ответ на: комментарий от soomrack

А можно конкретнее? Или почитать где-нибудь? Я сам математику люблю, но математиком не являюсь.

kovrik ★★★★★ ()
Ответ на: комментарий от kovrik

Моя забывать условия, но из какой-то там последовательности, которая очевидно не сходится, можно извлечь такую подпоследовательность, которая бы сходилась к любому наперед заданному числу.

ErasimHolmogorin ()
Ответ на: комментарий от ErasimHolmogorin

Из ограниченной, двоечники. (в евклидовом пространстве).

soomrack ★★★ ()
Ответ на: комментарий от soomrack

Куда уж конкретней. Указанный ряд это значение дзета-функции в точке -1. Рассмотри предел дзета-функции \dzeta(x) при x стремящемся к -1. Получишь -1/12.

Ммм...а знак минуса откуда берется? Или это из тех вещей, которые интуитивно никак не понять, а нужно принять на веру что просто есть такая формула которая дает такие результаты?

kovrik ★★★★★ ()
Ответ на: комментарий от soomrack

А можешь посоветовать какую-нибудь 1 годную книгу?
Сам читал эту http://elementy.ru/bookclub/book/332/
Книга классная, но она рассчитана на неподготовленного читателя, написана максимально просто (хотя под конец тяжеловато). Как введение - подходит идеально.
А что почитать дальше?

kovrik ★★★★★ ()
Ответ на: комментарий от kovrik

А зачем? Направлений копания то много, все не охватишь. Если что интересно, что может пригодится по профессии, то стоит там покопать и почитать соответствующую литературу.

ErasimHolmogorin ()

На каждую формулу можно посмотреть с двух сторон:

1. Что тут написали.

или

2. Что тут стёрли.

r2d2 ()
Ответ на: комментарий от r2d2

Это я к тому, что стёрли x, а перед эти - комплексную плоскость.

С малого расстояния и Земля плоская ;-)

r2d2 ()
Ответ на: комментарий от kovrik

А можешь посоветовать какую-нибудь 1 годную книгу?

Сам читал эту http://elementy.ru/bookclub/book/332/ Книга классная, но она рассчитана на неподготовленного читателя, написана максимально просто (хотя под конец тяжеловато). Как введение - подходит идеально. А что почитать дальше?

Рекомендации от твоего возраста зависят. Есть книги про великие проблемы, есть книги про «жемчужины» математики, есть книги про красивые задачи, получившие яркие приложение к практике. Собственно, мне интересны только последние. К специальным функциям я особой любви не испытываю.

soomrack ★★★ ()

zeta function regularization - это не сумма. И обозначение такого вида для неё «1+2+3+4+...» дурацкое. Годится для того чтобы над первокурами шутить.

Ты пытаешься применить «интуицию» (а точнее теорему о том, что предел неотрицательной последовательности неотрицателен) к совсем иначе определенному объекту. Понятно, что она не работает.

Как пример, если я напишу «2+2=1» твоя интуиция поначалу также спасует. Хотя в Z_3 это абсолютно верная формула.

Для того чтобы появилась «правильная» интуиция надо сначала определения понять, осознать в каком пространстве и с какими объектами работаешь.

alpha ★★★★★ ()
Ответ на: комментарий от soomrack

Последнее интересует и меня, хотя наверно спойлеров в универе нахватался.

ErasimHolmogorin ()
Ответ на: комментарий от kovrik

X=1+2+3+4+...

2X=2+4+8+...

X-2*2X=1-2+3-4+...

1-2+3-4+...=1/4.

-3X=1/4

но вот тут у математиков косяк зарыт, который они не видят.

в X-2*2X сложение производнится между членами последовательностей с разными индексами

X=1+2+3+4+... 4X=0+0+0+4+0+0+0+8+...

а это всегда приводит к ололо-результатам.

например:

4X=(1+1+1+1)+(1+1+1+1+4)+...=1+1+1... + 0+4+8+...=4X+ 1+1+1+...

X-4X=X-4X-1-1-1-1-1... = -1/12-бесконечность

или вот так:

4X=(1+2+1)+(3+4+1)+(5+6+1)+(7+8+1)+...=1+2+3+... +1+1+1+...

X-4X=-бесконечность

ckotinko ☆☆☆ ()
Ответ на: комментарий от alpha

нет там никакого пространства. в педивикии есть доказательство эйлера,распечатайте его на бумажке (вторую страницу), карандашом затрите -s потому что оно нигде в расчетах не используется, висит как помарка на бумаге. и все равно будет 1/4

ckotinko ☆☆☆ ()
Ответ на: комментарий от soomrack

Че-то меня переклинило: продолжение по аналитичности (не по непрерывности).

soomrack ★★★ ()

Про вышеописанный результат ничего толкового нагуглить не удалось. Почему так получается? Где-нибудь есть вывод данного результата?

http://de.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/1455/Дзета-функция

Тебе нужно тождество (3). Тут же ссылка на оригинальную работу Римана, где оно доказано.

-1/12 получается продолжением по непрерывности.

Не по непрерывности. Непрерывно можно продолжить слишком многими способами. Здесь продолжение до аналитической функции. Это значит вот что. Мы ищем такую аналитическую функцию, которая в области Re(s)>1 совпадает с бесконечной суммой (-s)-ых степеней натуральных чисел.

yura_ts ★★ ()
Ответ на: комментарий от ckotinko

нет там никакого пространства

Пространство есть всегда. Но ты меня не понял.

Суть в том что «суммирование» которое используется в данном случае не является суммированием в общепринятом и интуитивном смысле. Это другая операция. И применять к ней обычную интуицию, не подкрепленную пониманием используемых определений, не следует.

alpha ★★★★★ ()

если хотите еще порвать шаблон, почитайте про последовательности Гудстейна.

buddhist ★★★★★ ()
Ответ на: комментарий от alpha

Суть в том что «суммирование» которое используется в данном случае не является суммированием в общепринятом и интуитивном смысле. Это другая операция.

перегрузка операторов?

Anonymous ★★★★★ ()
Ответ на: комментарий от alpha

Ты говоришь нечто странное.
Верны следующие утверждения:
1) В области Re(s) >1 (на комплексной плоскости) определена (аналитическая) функция dzeta(s) = 1/1^s + 1/2^s + ... +1/n^s + ...
2) Существует аналитическая функция, определённая везде, кроме точки 1, совпадающая в области Re(s) > 1 с вышеуказанной dzeta(s).

yura_ts ★★ ()
Ответ на: комментарий от ErasimHolmogorin

Теорема Римана: условно сходящийся ряд можно переупорядочить так, что сходится будет к любому наперед заданному числу. Но это не этот случай.

cvs-255 ★★★★★ ()
Ответ на: комментарий от ckotinko

X=1+2+3+4+...

2X=2+4+8+...

X-2*2X=1-2+3-4+...

1-2+3-4+...=1/4.

-3X=1/4

Тут ты забыл очень важный момент: эти рассуждения не говорят, что X=-1/12. Они говорят, что если ряд сходится и мы складываем ряды по описанному закону, то он сходится к -1/12. В данном случае исходное предположение о сходимости неверно.

cvs-255 ★★★★★ ()
Ответ на: комментарий от cvs-255

Если же мы все-таки хотим говорить о пределе суммы, то нам надо переопределить поняти сходимости, т.к. в классическом понимании ряд расходится.

cvs-255 ★★★★★ ()
Ответ на: комментарий от soomrack

Из ограниченной, двоечники. (в евклидовом пространстве).
двоечники

нах кому всё это надо в реально жизни (кроме математиков)?

stevejobs ★★★★☆ ()

Есть целая классическая монография Харди, «Расходящиеся ряды».

unanimous ★★★★★ ()
Ответ на: комментарий от stevejobs

нах кому всё это надо в реально жизни (кроме математиков)?

В реальной жизни надо только жрать, спать и размножаться, да?

Расходящиеся ряды сплошь и рядом лезут в теории поля. Конечно, это связано с тем, что нарушаются границы применимости теории возмущений, но поскольку лучшего пока особо не придумали... приходится понимать, как работать с формально расходящимися выражениями.

Чтобы понять, в чем проблема, вот пример:

Функция 1/(1+x^2) определена на всей числовой оси R и всюду на ней конечна — нет никаких проблем с вычислением ее значений при любом x. Эта функция может быть представлена рядом

1/(1+x^2) = 1 -x^2 + x^4 - x^5 + ..., который сходится при x <1 и расходится при x>=1. Представим теперь, что у нас имеется только ряд, или даже его кусок, а про «общую» формулу мы ничего не знаем. Внимание, вопрос: можно ли зная только ряд, научиться вычислять значения при x>1? Так вот оказывается, что да, можно, и ответ на это и дают как раз формулы суммирования. Более того, при определенных допущениях о свойствах неизвестной функции, может оказаться, что такая просуммированная функция единственна.

unanimous ★★★★★ ()
Ответ на: комментарий от stevejobs

нах кому всё это надо в реально жизни (кроме математиков)?

Как меня бесят подобные высказывания кухонных теоретиков. :(

Знаешь, как было смешно смотреть на целого аспиранта кафедры ЭВМ, подрабатывавшего у меня кодером, когда ему была поставлена задачка написать простенький ПИД-регулятор? Ему тоже математика в реальной жизни не нужна была, как оказалось.

baka-kun ★★★★★ ()

а вот объясние мне, зачем вообще нужны ТАКИЕ наркоманские извращения?

q11q11 ★★★★★ ()
Ответ на: комментарий от baka-kun

аспирант кафедры ЭВМ
ПИД-регулятор
в реальной жизни

не ну конечно же в реальной повседневной жизни КАЖДЫЙ просто обязан уметь сделать качественный пид-регулятор...

ты себя то слышишь? это у вас математиков реальная жизнь только такая и никакая иначе, так что не надо про кухонных теоретиков, варись дальше в своей математике сколько угодно, а нормальных людей не трогай

я тоже могу назвать десяток областей в которых ты ничего не смыслишь и сказать, что ты просто лошара, раз не знаешь такие простые известые вещи

q11q11 ★★★★★ ()
Ответ на: комментарий от q11q11

КАЖДЫЙ просто обязан уметь сделать качественный пид-регулятор...

По моему элементарная задача. Прочитал на википедии. Не математик. Откуда такой бугурт?

baverman ★★★ ()
Ответ на: комментарий от unanimous

В реальной жизни надо только жрать, спать и размножаться, да?

Расходящиеся ряды сплошь и рядом лезут в теории поля.
Конечно, это связано с тем, что нарушаются границы применимости теории возмущений, но поскольку лучшего пока особо не придумали...
приходится понимать, как работать с формально расходящимися выражениями.

ну конечно же чёрт побери вот оно как !!!!!!
и как же я раньше жил-работал-растил_детей без всего этого, ума не приложу

по мне так вся математика (ну по крайней мере тот наркоманский бред который мы тут видим) существует на 1% для каких-то реальных исследований, и на 99% для самой математики, чтоб тупо передать знание дальше и задрачивать его в универах

q11q11 ★★★★★ ()
Ответ на: комментарий от q11q11

Чую резкий баттхерт по поводу математической безграмотности.

Вот что:
1) Все профессии нужны, все профессии важны.
2) Прочитав на википедии, что такое пид-регулятор, понял, что если человек не умеет его эмулировать, то как минимум предметы «численные методы» и «матанализ» ему в вузе поставили совсем нахаляву.

yura_ts ★★ ()
Ответ на: комментарий от baverman

Откуда такой бугурт?

да просто бесят всякие математики которые живут только математикой и голословно считают это пра-наукой, ну в общем-то как и все задроты в своих областях

q11q11 ★★★★★ ()
Ответ на: комментарий от q11q11

по мне так вся математика (ну по крайней мере тот наркоманский бред который мы тут видим) существует на 1% для каких-то реальных исследований, и на 99% для самой математики, чтоб тупо передать знание дальше и задрачивать его в универах

Вот скажи мне, что ты тут делаешь? ТС задал вопрос, получил обсуждение и ответы; ты пришел и сказал, что математика - наркоманский бред, так как для тебя это так, а приложения её для тебя слишком сложные. Ну и зачем эта вся ругань в адрес математики?

yura_ts ★★ ()
Ответ на: комментарий от yura_ts

Прочитав на википедии, что такое пид-регулятор, понял,
что если человек не умеет его эмулировать,
то как минимум предметы «численные методы» и «матанализ» ему в вузе поставили совсем нахаляву.

я тоже прочитал что это за хрень и понял что она мне как не нужна была, так никогда и не понадобиться, ну как и сами «численные методы» и «матанализ»

это в общем-то смахивает на сопромат, всем его парили в совке, только никому это никогда так и не пригодилось

q11q11 ★★★★★ ()
Ответ на: комментарий от q11q11

голословно считают это пра-наукой

Ты ошибаешься. Не голословно. Любой прикладной математик — универсальная боевая еденица. Может работать в любой области. Надо только вводную дать.

baverman ★★★ ()
Ответ на: комментарий от q11q11

да просто бесят всякие математики которые живут только математикой и голословно считают это пра-наукой, ну в общем-то как и все задроты в своих областях

Сходи к психотерапевту, у тебя немотивированная агрессия по отношению к математикам в частности и к ученым вообще.

yura_ts ★★ ()
Ответ на: комментарий от yura_ts

ты пришел и сказал, что математика - наркоманский бред

попрошу не перекручивать и читать внимательнее, я СПРОСИЛ где этот бред может применяться, ну и кстати не только я спросил об этом, а вот математики начали возмущаться на тему, что все кто не в теме, фигурально выражаясь, лохи

q11q11 ★★★★★ ()
Ответ на: комментарий от yura_ts

у меня мотивированная агрессия к людям которые считают себя выше других на пустом месте

а про психотерапевта - посоветуй кто получше, ты вроде в теме

q11q11 ★★★★★ ()
Ответ на: комментарий от q11q11

а вот математики начали возмущаться на тему, что все кто не в теме, фигурально выражаясь, лохи

У тебя явно искаженное восприятие реальности, мнительный чересчур.

baverman ★★★ ()
Ответ на: комментарий от q11q11

задроты

лохи

Мальчик, вернись в свое ПТУ, тебе не то что математика, тебе даже литература никогда не пригодится. Иди пощелкай семок с приятелями под пивко.

unanimous ★★★★★ ()

Я ни фига не понимаю в математике, но наезды на участников беседы мне непонятны. Что значит «Нах это надо в реальной жизни?»? А нах в реальной жизни нужно знание, что Фродо донёс кольцо до Роковой горы? От него проку ещё меньше. Просто людям это интересно, нравится им решать подобные задачи, хобби такое. Футбол в реальной жизни тоже мало пригождается... ))

sluggard ★★★★★ ()
Ответ на: комментарий от stevejobs

Жалко, что Луговский ушёл, а то бы он вам объяснил, что к чему и куда вас нужно отправить.

Ttt ☆☆☆☆☆ ()
Ответ на: комментарий от q11q11

да просто бесят всякие математики которые живут только математикой и голословно считают это пра-наукой, ну в общем-то как и все задроты в своих областях

Все рукотворное, что ты видишь создано с помощью механики, которая неотделима от математики. Несколько математических утверждений, приведенных выше это математические инструменты. Без инструментов жить можно, но ничего ни создать ни починить в современном мире нельзя. Без них ты будешь только потребителем, дармоедом на шее человечества.

soomrack ★★★ ()
Вы не можете добавлять комментарии в эту тему. Тема перемещена в архив.