[матан] Теорема о гомоморфизме

Какая от нее утилитарная польза физику может быть?

понятия не имею. если физики не ищут оптимумы квадратичных функций, то никакой

Что-то как-то нестрого звучит.

и это я ещё формалист? в принципе, можно было бы остановиться на сепарабельности, т.к. вывод очевиден

>>и это я ещё формалист?

Так я и говорю, нестрого для формалиста-то, неспроста.

Тогда это какой-то неинтересный пример, в нем сама группа симметрий никак не участвует и её свойства никак не используются.

Просто взяли некоторую группу А (в данном случае группа симметрий), домножили её на другую В (перестановки пар вершин) и спроектировали обратно на А.

То есть суть ровно та же что в примере с плоскостью, только замутненная лишними построениями.

всё неймётся продемонстрировать окружающим свои первичные половые матан-признаки? :)

Ты просто тупой гуманитарий и не нужен этому миру :3

Это хорошая софистика времён совка, годная. Да.

А ты, похоже, в бане первый раз? Привыкай, а если есть комплексы, так лучше свали.

>>сама группа симметрий никак не участвует и её свойства никак не используются.

Не согласен.

Просто взяли некоторую группу А (в данном случае группа симметрий), домножили её на другую В (перестановки пар вершин) и спроектировали обратно на А.

в группе B уже сидит группа A, и тот факт, что если взять гомоморфизм на (сюръекцию то бишь) группу одних только симметрий (симметрий неспиленного многогранника), то ядром станут перестановки вершин на гранях спиленных вершин. Совершенно нетривиальный факт.

Хотя с простыми кружочками и стрелочками, пожалуй, все же действительно проще.

> Совершенно нетривиальный факт.

Смотрим ещё раз: есть многоугольник с усеченными вершинами. На нем действует группа симметрий. Она ровно та же что и группа симметрий неусеченного многоугольника.

Теперь мы добавляем к этим симметриям преобразования транспозиции пары вершин. Причем менять местами можно не любые две, а только имеющие общую неусеченную вершину. Эти преобразования с симметриями многоугольника не взаимодействуют, они коммутируют. Так что результирующая большая группа - это просто прямое произведение группы симметрий n-угольника(A) на группу перестановок из двух элементов в n-ой степени(B).

А гомоморфизм на группу преобразований неусеченного многоугольника означает, что мы просто забываем об этих перестановках и возвращаемся к стандартной симметрии многоугольника - а это есть проекция на первый компонент.

То есть пример по сути такой: мы сначала искусственно домножили на группу B, потому на неё же разделили
(A*B)/B = A

Внутренняя структура ни группы А, ни группы B здесь в разговоре не участвует. Так что получается, что желая построить наглядный пример, наоборот спрятали истинный смысл за геометрическими объектами, которые никакой информации не несут.

С конечными группами наверное интереснее рассматривать примеры, когда нормальная подгруппа не состоит из центральных элементов. То есть нет поэлементного коммутирования и прямого произведения. Тогда там «деление» делается не так в лоб, как здесь.

А ты, похоже, в бане первый раз? Привыкай, а если есть комплексы, так лучше свали.

а и правда, чего ты так агрессивно пытаешься выпятить собственное я и всячески подчеркнуть свою Ъ-элитность, внимания не хватает?

А ты подумай, кто первый начал коростами говна покрываться в этом треде.

Я, мот и транжир, всякие любопытные шкатулки, понимаешь, призываю открывать. Твой же обрюзгший жир может вытечь отсюда без ущерба человечеству.

А ты подумай, кто первый начал коростами говна покрываться в этом треде.

точка зрения «это не я начал» характерна для детей детсадовского и школьного возраста, это без шуток

Я, мот и транжир, всякие любопытные шкатулки, понимаешь, призываю открывать.

Вы себе сильно льстите, сударь

Твой же обрюзгший жир может вытечь отсюда без ущерба человечеству.

что мне делать со своим стратегическим запасом я знаю и без посторонних советов

>>То есть пример по сути такой: мы сначала искусственно домножили на группу B, потому на неё же разделили (A*B)/B = A

Я согласен и не спорю, но ведь таким же образом можно будет сказать про любую аналогию на эту тему. Всегда можно будет группу поделить на ядро и сказать что исходная группа на самом деле это полученное частное, умноженное на нормальную группу.

Вопрос в выборе исходного знания - что мы договорились считать стартовой точкой.

Мне кажется очень интересно и ново исходить из того, что ежели в группе есть нормальная подгруппа - то ее мы представляем в виде перестановок вершин граней спиленных вершин, а тогда после стремления спила к нулю получем фактор-группу в виде симметрии многогранника.

А правда, что математикам, в отличие от механиков, не хватает здравого смысла?

>>Эти преобразования с симметриями многоугольника не взаимодействуют, они коммутируют.

А можно допилить спил вершин до пересечения с другими спилами. Тогда точно провзаимодействуют.

А правда, что математикам, в отличие от механиков, не хватает здравого смысла?

нет конечно, просто у кое-кого зачесался недостаток воспитания и, походу, внимания

>>что мне делать со своим стратегическим запасом я знаю и без посторонних советов

man маяковский

man маяковский

man man

>>у кое-кого зачесался недостаток воспитания и, походу, внимания

Этому кое-кому уже любезно уделили внимание, посоветовав вытечь отсюда. На большее пусть не рассчитывает.

> А можно допилить спил вершин до пересечения с другими спилами. Тогда точно провзаимодействуют.

а тогда не будет гомоморфизма

>>у кое-кого зачесался недостаток воспитания и, походу, внимания

Этому кое-кому уже любезно уделили внимание, посоветовав вытечь отсюда. На большее пусть не рассчитывает.

а вот и любезно предоставленный ТС'ом пруф

//не стоит раздавать команды и указания коль скоро не можешь обеспечить их выполнение, это выглядит довольно таки импотенциозно

>>Теперь мы добавляем к этим симметриям преобразования транспозиции пары вершин. Причем менять местами можно не любые две, а только имеющие общую неусеченную вершину. Эти преобразования с симметриями многоугольника не взаимодействуют, они коммутируют. Так что результирующая большая группа - это просто прямое произведение группы симметрий n-угольника(A) на группу перестановок из двух элементов в n-ой степени(B).

Так а разве они коммутируют почленно? По-моему это и есть общий случай нормальной подгруппы.

Да, похоже что все-таки почленно.

>>Всегда можно будет группу поделить на ядро и сказать что исходная группа на самом деле это полученное частное, умноженное на нормальную группу.

Тут тоже похоже ошибка.

Ладно, alpha, огромное спасибо за объяснения!