[алгебра] глупый вопрос

операция возведения в степень вообще плохая, т.к. неассоциативна

уравнение ... имеет тождественное решение

Это шо значит???

> операция возведения в степень вообще плохая, т.к. неассоциативна

ну я бы начал с того что она вообще плохая потому что области определения левого и правого операндов и область значений не всегда очевидны и не всегда совпадают с тем полем/whatever о котором идет речь.

Вероятно я туплю, но:
a^(-e^^)=1/a
a^^(1/e^^)=1/a
Отсюда:
применение последовательно ^(-e^^) и ^^(1/e^^) точно так же как и
^^(1/e^^) а потом ^(-e^^) дают тождественное преобразование.
Т.е. данные операции взаимообратны.
С другой стороны ^(-e^^) обратна ^(e^^).
Тогда -e^^*e^^=e^.
Из a^(-e^)=1/a получаем a^(--e^^*e^^)=1/a.
Т.е. e^^*e^^=-e^^.
Т.е. e^^=-e*.
Т.е. (--e*)*(-e*)=e^.
Т.е. -e*=e^.
Т.е. a^(-e*)=1/a, -e*=(-e^^).
Т.е. e*=e^^.
Т.е. (-e*)*(-e*)=-(e*).
А это возможно,только если e*=e+. Нарушается изначальное неравенство
нейтральных элементов.

P.S. Алгебру не знаю. Просьба не пинать.

Зашел в тему поржать над неготовой к ЕГЭ школотой. А тут дискретка :(

Дааа... Несомненно... jtootf это 100% школота...

>А тут дискретка
Где дискретка?

Это шо значит???

что решением является константа, не зависящая от параметра

применение последовательно ^(-e^^) и ^^(1/e^^) точно так же как и ^^(1/e^^) а потом ^(-e^^) дают тождественное преобразование.

почему?

a^(-e^^)=1/a
a^^(1/e^^)=1/a
Подставляем 1/a как a из второго в первое и наоборот.

имеет тождественное решение только в случае a == e+

Так от какого параметра?

Подставляем 1/a как a из второго в первое и наоборот.

логично. но это, вообще говоря, не то, чего хотелось бы: таким образом мы вводим две дополнительных операции (^ и ^^), в то время как я хотел бы ввести только одну (^^), удовлетворяющую приведённому свойству

возведение в степень я привожу в пример как операцию, которая может быть введена, но условию не удовлетворяет. хотя может я сам не выспался и пока ещё жестоко туплю

Так от какого параметра?

от a. с чем надо сложить произвольное число, чтобы получить обратное к нему? к некоторому числу, зависящему от данного: 5 + -10 = -5, но 2 - 4 = -2

в то время как с умножением решением является константа: 5 * -1 = -5, 2 * -1 = -2, от числа не зависит

Эм, пардон тогда.

Почитал еще раз, и пришел к выводу что задача бессмысленна, пока
циферка 1 не заменена соответствующим e в задании.

P.S. Не в тему но все же. Помнится был разговор о книге Galois connections and applications. Я в той теме выложил дамп гуглбука.
Может ты отсканишь и выложишь странички которых там не хватает.
Их там порядка 50-ти.

от a.

a не является переменной, коль скоро мы зафиксировали a == e+.

в то время как с умножением решением является константа

На что надо умножить произвольное число x, чтобы получить обратное к нему? На 1/x^2, с утра было.

Miguel

На что надо умножить произвольное число x, чтобы получить обратное к нему? На 1/x^2, с утра было.

да не умножить же. неужели так сложно пост прочитать? для умножения:

jtootf

во всех остальных случаях x будет выражаться через a (x = 1/(a * a))

т.е. так же, как и в первом случае, применять операцию надо не к константе, а к некоторому выражению, зависящему от числа (для сложения это -2 * a, для умножения 1/(a * a)). по аналогии с переходом от сложения к умножению (когда эта зависимость исчезает) я хочу перейти от умножения к новой бинарной операции. такой, что:

a ^^ (1/e^^) = 1/a

два требования - чтобы (1/e^^) не зависело от a, и чтобы (по введению) было обратным по умножению элементом к нейтральному элементу по введённой операции, т.е. e^^

Svoloch

Почитал еще раз, и пришел к выводу что задача бессмысленна, пока циферка 1 не заменена соответствующим e в задании.

цифра 1 там используется исключительно для обозначения обратного по умножению элемента. можно использовать любую другую запись (например, e*/a)

Svoloch

Может ты отсканишь и выложишь странички которых там не хватает.

никак до сканера не доберусь (у меня его нет). как только будет возможность - отсканирую

Еще подумал. Поскольку нейтральные элементы не связаны как-то особо,
не выйдет ли это то же что и с обычной степенью, просто начинающейся не
с a^0=1 a^1=a, а с a^1=1 a^2=a. Вобщем-то соглашение странное,
но противоречивым не выглядит. Произведение степеней и степень степени
вроде работает нормально. Только все степени в а раз меньше чем в
обычной степени.

a^1=1 a^2=a

a^(1/2) = ?

правый нейтральный элемент относительно этой операции - 2, соответственно подобное «возведение» в 1/2 (e*/2) степень должно давать число, обратное по умножению к исходному. даёт ли?

Произведение степеней и степень степени вроде работает нормально

a^2 = a (по введению операции)
a^(1/2) = 1/a (по условию задачи)

a^2 * a^(1/2) = a * 1/a
a^(2 + 1/2) = 1

но

a^1 = 1 (по введению операции), 1 != (2 + 1/2)

противоречие

Не понял о чем ты.
Классика:
(a^(1/2))^2=(a^1)=a a*a=a^2
Альтернатива:
(a^^(1/2))^2=(a^1)=1 a*a=a^3
Просто связка степени с умножением меняется.

Ну так ты определись что и как вводишь :).
Если вводишь что a^^2 = a то противоречие.
А если просто a^^(1/e^^)=1/a то нет.

Понял где протупил....
Ща еще подумаю.

Просто связка степени с умножением меняется.

a^^(1/2) * a = a^^(1/2) * a^^(2) = a^^(2 + 1/2)

это верно или нет?

Ща еще подумаю.

ага, я тоже

>>уравнение вида a + x = -a имеет тождественное решение только в случае a == e+ (в таком случае x == e+), во всех остальных случаях x будет выражаться через a (x = -2 * a)

х=е+ это частный случай х = -2 * а при а == е+, зачем городить огород?

А если взглянуть так. Мы используем вместо аддитивной единицы,
мультипликативную. Тогда не должны ли мы при произведении степеней
использовать мультипликацию? Но тогда при возведении степени в степень,
степени должны не перемножаться а в степень возводиться.
Выходит честно говоря какой-то ахтунг.

зачем городить огород?

что уже, и глупость написать нельзя? к решению задачи она в любом случае отношения не имеет

но что чушь, то да. редактировать пост однако не хочу

к решению задачи она в любом случае отношения не имеет

Имеет, ибо странный производный термин таких рассуждений - «тождественное решение» - исползуется в формулировке условия.

таким образом, чтобы уравнение вида a ^^ x = 1/a имело тождественным решением обратный по умножению элемент к e^^, то есть x == (1/e^^)?

Да и для начала надо оговорить, какой единицей является е^^ - левой или правой.

какой единицей является е^^ - левой или правой

для этого сначала надо доказать тот факт, что введённая операция обязательно будет некоммутативной

странный производный термин таких рассуждений - «тождественное решение» - исползуется в формулировке условия

a ^^ (1/e^^) = 1/a (где 1/e^^ - обратный по умножению элемент к e^^)

задача: ввести такую бинарную операцию ^^ и такой нейтральный по ней элемент e^^, чтобы приведённое тождество выполнялось для любого a. в случае, если введённая операция является некоммутативной (неассоциативной), особо оговорить данный момент

такая формулировка тебя устраивает?

к слову, если в тождестве обратный по умножению элемент заменить на обратный по сложению, то всё замечательно решается степенной функцией:

a ^^ (-e^^) = 1/a
^^ ~ ^, e^^ = e* (a^e* == a для любого a)
a^(-e*) = 1/a

с тем же успехом всё работает, если брать элемент, обратный по обеим операциям:

a ^^ (-(1/e^^)) = 1/a
a^(-1/1) = 1/a

a ^^ (1/(-e^^)) = 1/a
a^(-1/1) = 1/a

однако с элементом, обратным только по умножению, возникают проблемы

ну я, в общем, разобрался в чём дело. операцию пока не придумал, но критерии введения (и почему ^ не работает) более-менее ясны

А поделиться соображениями с менее продвинутыми?

почему сразу менее продвинутыми? никто, вроде бы, не просил - я и не делился

из четырёх аксиом дистрибутивности для ^ (слева по +, справа по +, слева по *, справа по *) следует, что либо e+ = e* (что противоречит условию), либо e^ = e*. в последнем случае получаем:

a^(/e^) = /a
a^(/e*) = /a
a^e* = /a
a^a^ = /a
a = /a, выполняется только для a = e*

собственно, проблема в одной аксиоме дистрибутивности:

a^(b * c) = (a ^ b) ^ c

и в соотношении для ^, которое я пока что не смог вывести из аксиом дистрибутивности (возможно, эту зависимость тоже надо вводить аксиоматически):

a^(-b) = /(a^b)

итого надо ввести операцию с такими дистрибутивными аксиомами, из которых не будет следовать e* = e^^. если интересно, могу привести полные выкладки

P.S. изпользую сокращённую запись для обратного по умножению элемента (a * /a = e*) для однообразности со сложением

Менее продвинутые, это я про себя.
Ты додумался, я - нет. Хотя честно говоря, не особенно и пытался в
выходные. Так или иначе, результат очевидно показывает, кто более
продвинут. :)

Насчет полных выкладок, конечно интересно.

предусловия (структура, в которую мы вводим третью бинарную операцию):

(a + b) + c = a + (b + c)
a + e+ = a
a + -a = e+
a + b = b + a

(a * b) * c = a * (b * c)
a * e* = a
a * /a = e*
a * b = b * a

a * b = e+ => a = e+ или b = e+
e+ != e*

a * (b + c) = (a * b) + (a * c)

операция возведения в степень не обладает ни ассоциативностью, ни коммутативностью. дистрибутивные законы вводятся следующим образом:

(1) a ^ (b + c) = (a ^ b) * (a ^ c)
(2) (a + b) ^ c = <бином Ньютона>
(3) a ^ (b * c) = (a ^ b) ^ c
(4) (a * b) ^ c = (a ^ c) * (b ^ c)

дополнительно введём следующее соотношение (оно выполняется для операции возведения в степень):

(5) a^(-b) = /(a^b)

из (5) и (1) непосредственно следует:

(6) a ^ e+ = a ^ (b + (-b)) = (a ^ b) * (a ^ (-b)) = (a ^ b) * /(a ^ b) = e*

из (4) непосредственно следует:

(7) e* ^ a = (e* * e*) ^ a = (e* ^ a) * (e* ^ a) => e* ^ a = e*

рассмотрим следующее соотношение:

a ^ b = c ^ b => (a ^ b) / (c ^ b) = e*
=> (a / c) ^ b = e*

данное тождество может выполнятся только в двух случаях: при b = e+ (по (6)), либо при a = c (по (7)) (*)

рассмотрим дистрибутивный закон (3) в свете выводов (*):

a ^ e* = a ^ (e* * e*) = (a ^ e*) ^ e*

в соответствии с (*), есть два варианта: либо e* = e+ (что противоречит предусловиям), либо:

a = a ^ e* => (**) e* = e^

подставляя полученное соотношение (**) в интересующее нас уравнение, получаем:

a ^ (/e^) = /a 
a ^ (/e*) = /a 
a ^ e* = /a 
a ^ a^ = /a 
a = /a

из чего следует, что решением является только a = e*, а не произвольное a, как нам бы того хотелось. собственно, твой подход был отчасти верным: надо сделать так, чтобы e^ != e* - но, поскольку это следует из законов дистрибутивности, вводимых для ^, в первую очередь надо менять именно их

насчёт того, каким именно должен быть закон (3), чтобы исходное уравнение было тождеством (выполнялось для всех a), я пока не думал