А Вы умнее первокурсника?

Да.

доказательство, пример, да.

нет, теорема, не доказана

Если кто забыл - в определении монотонности нестрогие сравнения. Т.е. последовательность 2 2 2 2 2 2 2 ... монотонна

Пример:

sin( pi * n) , n = { 1,2, ... inf }

Я забыл и не могу найти определение монотонности.

Больцано-Вейрштрасс нам поможет.

>sin( pi * n) , n = { 1,2, ... inf }

Последовательность

0 0 0 0 0 0 0 0 .... солидарна с последовательность

2 2 2 2 2 2 2 .... и тоже монотонна.

A_i <= A_j для i < j - монотонно неубывает.

монотонно = монотонно неубывает либо монотонно невозрастает.

>Я забыл и не могу найти определение монотонности.

Последовательность монотонно возрастающая, если каждый следующий не меньше предыдущего

Последовательность монотонно убывающая, если каждый следующий не больше предыдущего

Последовательность монотонна, если она либо монотонно убывает, либо монотонно возрастает.

За такое преподу руку обычно ломают или рёбра.

черт, я забыл первый семестр =((

1) можно выбрать сходящуюся a(j).

2) в сходящейся нужно выбирать элеметы с наибоьшем отклонением от предела, то есть формируем последовательност b(i) = a(j) : |a(j) - a| = max {|a(k) - a|} and k > номер b(i-1) s последовательности a.

таким образом получим 2 слите последовательности (1 из них, возможно конечную или пустую), каждую сонотонную и сходящуюся к a. доказано. эх, я прав? или совсем матику забыл?

Ну типа, из любой последовательности R по определению можно выбрать два числа x, y. Для этих двух чисел будет выполняться одно из трех условий: x = y, x > y, x < y. Т.е. x, y является монотонной последовательностью.

Дык, а ты задачу то польностью сказал, а то бред какой-то выходит...

Выберем из заданной последовательности два произвольных члена как подпоследовательноть. В любом случае полученная подпоследовательность будет монотонна.

тьфу, ну свормулировал. 2 шаг можно проще скзать. для любого n можно выбрать inf или sup a(i), где i >= n. причем такой, что это значение принадлежит последовательности a. это и сформирует последовательность b

ну и из b уже можно выделить нужную по условия последовательность легко.

>1) можно выбрать сходящуюся a(j).

Невсегда 1 2 3 4 5 .... Если придел бесконечность, то последовательность не сходится.

>черт, я забыл первый семестр =((

Да действительно.

Вообще направление мысли правильное - если интересно, можно додумать Почти зачет.

>Невсегда 1 2 3 4 5 .... Если придел бесконечность, то последовательность не сходится.

ну у нас это тоже называлось сходящейся по определнию последовательностью пределом была бесконечность. так что рассуждение это не разрушает.

>Дык, а ты задачу то польностью сказал, а то бред какой-то выходит...

Последовательность f элементов X - есть отображение N->R

Последовательность g есть подпоследовательность f, если g = f * s, где s - строго монотонное отображение N->N

Звездочка там означает композицию.

(f*s)(n) = f(s(n))

последовательность считать вдоль!

Кто сказал, что не бывает конечных последовательностей, в частности, из 2 элементов?

а что натуральный ряд состоит из 2 элементов? читай определение.

Если так, то функция либо по умолчанию монотонная на бесконечности либо периодическая+монотонная на бесконечности( т.к две и более гармонические в сумме - гармонические) с возможный затуханием или усилением - это следуем из определения монотонности. Если разрывы - то они не влияют, поскольку всегда промежутки можно свести к этим случаям и выбрать соответствующую монотонную последовательность, т.к. важно поведение функции только при стремлении к бесконечности(а там другое поведение невозможно). Во втором случае она будет колебаться в окрестности тоже монотонной функции( в p.s подробнее), с затуханием усилением, поэтому можно всегда и выбрать монотонную последовательность.

Р.S. Любую функцию можно представить как сумму гармонической и постоянной составляющей при стремлении к бесконечности, поскольку число разрывов у функции будет либо конечным, что не влияет на поведение при стремлении к бесконечности, либо изменяться повторятся по определённому закону, следовательно промежутки, из-которых мы выбираем монотонную последовательность будут представлены именно так, как я написал уже выше.

P.P.S. Для последовательности будет все аналогично.

Думал сам, с учебника не списывал, за верность и точность не ручаюсь.

Низачёт. Последовательность содержит бесконечное число членов,
но множестсво её значений может быть конечным. Простейшие примеры
f(n) = (-1)^n. 
f(n) = 0 если n = 0, 1 иначе

Первокурсник умнее тебя и автора темы :)

>Последовательность содержит бесконечное число членов, но множестсво её значений может быть конечным.

кто-то спорит? но это бесконечная последовательность, у которой все элементы либо a, либо b

Умны ли первокурсники? Многие ли могут доказать эту теорему с нуля, *не вспоминая* учебник?

Согласно Большому Энциклопедическому Словарю (Математика), иногда рассматриваются конечные последовательности, определенные на конечном множестве натуральных чисел. Задача некорректна.

>Многие ли могут доказать эту теорему с нуля, *не вспоминая* учебник?

Если под *не вспоминая* подразумевается *не заглядывая в* то люди найдутся.

>Согласно Большому Энциклопедическому Словарю (Математика), иногда рассматриваются конечные последовательности, определенные на конечном множестве натуральных чисел. Задача некорректна.

Специально для Вас,

s/последовательность/отображение N->R

Я могу. Я даже экзамен по матану сдать могу, просто с ходу, взяв билет со стола.

Без ограничения общности исходная последовательность {a_n} сходится к числу в "R с черточкой", т.к. у любой последовательности в R существует сходящаяся в "R с черточкой" подпоследовательность.

1) Пусть существует lim (a_n) равный +бесконечность. Строим подпоследовательность b_k. b_1 = a_1;

индуктивный шаг: из сходимости => существует m: a_m > b_n. Член b_(n+1) = a_m

=>> подпоследовательность существует.

2) для -бесконечность аналогично

3) Пусть существует действительный предел A. Тогда среди членов последовательности a_n либо счетное число нестрого меньших, чем A, либо счетное число нестрого больших, чем A, либо и то и другое.

Пусть имеется счетное число членов нестрого меньших, чем A (в остальных случаях аналогично). В этом случае доказывается аналогично варианту с бесконечностью с тем лишь отличаем, что если есть счетное число членов равных A, то это и есть последовательность.

Монстр. Уважаю, если правда.
А вообще, сявки обнаглели. Решать свои домашние задания на ЛОРе, это ж додуматься нужно было...

Зачет.

Еще и с формулировкой сабжа... "На слабо"... Соц. инженерия рулит!

Да. Всякое множество чисел на R может быть линейно упорядочено.

>Всякое множество чисел на R может быть линейно упорядочено.

а причем тут это? порядок нам ужу задан (отображением N->R), нам надо выделить в нем подпорядок.

Подразумевается именно "не вспоминая". То есть не зная о доказательстве этой теоремы ранее.