ну если делать совсем нечего, можно разбить на сектора.
посчитать площадь одного и умножить на их кол-во.
чем больше делать нечего, тем меньше будут сектора.
микроскоп-то можно?
Что же, да тут прямо таки напрашивается дискретизация (путём обработки воксельных (только 2Д) квадродеревьев).
Проще говоря:
1. Вмещаем круг в квадрат
2. Разбиваем каждый квадрат на 4 части
3. Помечаем квадраты, которые своей площадью захватывают круг (или можно использовать критерий % вхождения для отбора)
4. Суммируем площади помеченных квадратов -> [результат текущей итерации]
5. Если точность недостаточная переходим к п. 2
Или вариант посложнее:
1. Находим функцию (функциональный анализ) графиком которой является полукруг с нужным нам радиусом
1a. Допустим ax^2 + bx + c
2. Вычисляем интеграл от -R до +R S(ax^2 + bx + c)dx
3. Умножаем на 2
4. PROFIT