вопрос про численные методы

Свободная граница имитируется так — создается еще один, виртуальный слой точек за пределами той границы, которая является осью симметрии. Потенциал в точках после границы приравнивается к потенциалу точек до границы. То есть

U_{i, j+1} = U_{i, j-1}

Правда, матрица в таком случае получается уже не такая красивая, как при условии Дирихле — ну да не страшно.

Второе условие, если я правильно понимаю, будет такого вида:

U_{i, j+1} = U_{i, 1}

То есть, значение потенциала в вртуальном дополнительном слое совпадает со значением потенциала в первом слое (при предположении, что сама граница — это слой нулевой).

Только это не свободная граница, у Вас на такой границе поле ноль выходит. Фиксировать надо производную по нормали к границе.

Замыкание области самой на себя вообще то называется периодическими граничными условиями;-)

Только это не свободная граница, у Вас на такой границе поле ноль выходит. Фиксировать надо производную по нормали к границе.

Производная по нормали к границе в конечных разностях будет иметь такой вид:

(U_{i, j+1} - U_{i, j-1}) / (2 * \Delta)

Это если дискретизировать по центральным разностям. Насколько я помню, при использовании центральных разностей схемы получаются более устойчивыми.

А почему у меня на границе будет нулевое поле? Я же как раз производную нулю и приравниваю.

Замыкание области самой на себя вообще то называется периодическими граничными условиями;-)

Ага. Сам долго думал, что имел в виду автор.

PS: Сам численными методами уже несколько лет не занимаюсь, мог и подзабыть.

> А почему у меня на границе будет нулевое поле? Я же как раз производную нулю и приравниваю.

Потому что поле - это производная от потенциала, а в задаче ищется как раз потенциал;-)

Про центральные разности прально, ну тут пусть у ТС голова болит - как он там сетку вводит и т.д.

Потому что поле - это производная от потенциала, а в задаче ищется как раз потенциал;-)

Угу, пардон, забыл об этом.

PS: Тред, в котором белки разговаривают о численных методах :-)

Белки будут править миром!

Вообще среди ЛОРОвских аватров белки и крысы почти догоняют пингвинов... м.б. выпустить беличий дистрибутив?;-)

Напиши, плиз, примерный вид уравнений. И да, схема «крест», если я правильно понял о чем ты, тут не прокатит. Нужно либо симметричную схему юзать, либо повышенной точности, т.е. неявные.

Boundary element method, http://urbana.mie.uc.edu/yliu/Software/

Напиши, плиз, примерный вид уравнений. И да, схема «крест», если я правильно понял о чем ты, тут не прокатит. Нужно либо симметричную схему юзать, либо повышенной точности, т.е. неявные.

Да там наверняка обычное уравнение Пуассона, для которого «крест» вполне работает. Хотя если электроды внутри — «тады ой».

Boundary element method

Из пушки по воробьям.

И вообще — почему топикстартер молчит?

> Из пушки по воробьям.

Ну хозяин — барин. Это довольно честный и простой метод решения уравнения Лапласа. Там есть фортрановский код для 2D случая. Вся прога под сотню строк. Я сделал каце-каве с легкой обработкой напильником в матлаб и получил решалку для моей задачи через несколько часов. Ну конечно полезно еще прочитать первые две главы книги.

Fast BEM для не слишком сложной геометрии не впился, это да.

обычное \frac{\partial^2 \phi(x,y)}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \phi(x,y)}{\partial y^2} = -4\pi (n_i(x,y)-n_e(x,y))

n_i и n_e — задаются с нужным шагом в узлах. на границе можеть быть задан или явно потенциал, или вышеописанные условия.

область — прямоугольник,

Я не большой спец по решению у-я Лапласа, но ИМНО при правильном подборе коэффициентов креста для релаксации более чем достаточно - интересует ведь установившееся решение. А если уж формально придираться - о какой неявности идет речь, если в задаче нету времени?:-)

Уравнение Пуассона, вообще-то.

Лаплас решается методом точечных потенциалов.

Извиняюсь, точно Лаплас.

о, нашёл такую программу готовую http://people.sc.fsu.edu/~jburkardt/f77_src/fishpack/fishpack.html но только что то скомпилировать не удаётся

Извиняюсь, точно Лаплас.

Уравнение Лапласа — частный случай уравнения Пуассона, когда в правой части стоит 0. У топикстатртера Пуассон. Методов решения этих уравнений великое множество, как аналитических, так и численных. Простеший — та самая схема «крест» — метод конечных разностей. Методы конечных элементов и граничных элементов значительно сложнее, зато позволяют решать эти уравнения в областях сложной формы.

о какой неявности идет речь, если в задаче нету времени?

Бывают неявные схемы — в них вводится нечто вроде «искусственного времени». Схемы хороши своей повышенной устойчивостью к ошибкам округления, но требуют внимательности при составлении.

Блин, хотел посоветовать топикстартеру прекрасную книжку по численным методам в матфизике — но забыл ее название. Но в принципе, если математика не очень пугает, можно посмотреть Тихорова и Самарского, они тоже круты.

очень хотелось бы тупое описание алгоритма по шагам.

Надеюсь, не Бахвалова, Жидкова и Кобелькова?

Да-да, только вот судя по вопросам ТС ему бы явную схему хоть как нить выродить... И вообще неявные схемы для двумерной параболики... как белка-белке, я б не взялся, уж проще тогда фурье применить.

ТС-у:

1) задаете начальные значения для потенциала на сетке (какая нить константа, напр совпадающая с потенциалом электродов, или распред потенциала от электродов без учета плотности заряда в области)

2) запускаете интерационную схему, на каждом шаге обходите все ячейки, в каждой ячейке U[i,j] = U[i,j]*(1-alpha)+alpha* ... где 0<alpha<0.5, тремя точками обозначен тот самый крест с учетом гранусловий

3) схему крутите до тех пор, пока во всех ячейках за шаг изменения потенциала не будут меньше некоторой маленькой чиселки epsilon которая и есть точность.

Как то так.

Тогда лучше Калиткина, хорошая вещь.

очень хотелось бы тупое описание алгоритма по шагам.

Я несколько лет уже этим не занимаюсь, так что описание пошаговое не дам. Но идея такова — у тебя внутри области в точке с номером (i, j) дискретизированное уравнение получается такое:

(U_{i+1, j} - 2 U_{i, j} + U_{i-1, j}) / \Delta{x} + (U_{i, j+1} - 2 U_{i, j} + U_{i, j-1}) / \Delta{y} = -4\pi (n_i(i,j)-n_e(i,j))

Соответственно, совокупность этих уравнений образует систему, в которой количество уравнений меньше, чем точек в сетке. Недостающие уравнения получаешь из граничных условий. Получится у тебя система уравнений с разреженной матрицей. Есть специальные методы решения таких систем, но имхо должны прокатить и стандартные, просто будет дольше считаться. Надо пробовать.

Вообще, погугли на предмет метода конечных разностей для уравнений в частных производных эллиптического типа. В частности, в книге «Численные методы и программирование на фортране» Мак-Кракена и Дорна, если мне не изменяет память, есть пример решения подобной задачи на грубой сетке.

ЗЫ: Полупроводники обсчитываешь? :-)

Надеюсь, не Бахвалова, Жидкова и Кобелькова?

Нет, это больно крутая книжка, я ее не осилил. Та была переводная, издательства «Мир».

Тогда рекомендую Калиткина. Бахвалова в топку ибо «для академиков».

Тогда лучше Калиткина, хорошая вещь.

Согласен, Калиткин хорош. Но та книга была переводная. Я уже посоветовал топикстартеру посмотреть Мак-Кракена и Дорна — она уж совсем для чайников, даже я разобрался :-)

И вообще неявные схемы для двумерной параболики... как белка-белке, я б не взялся, уж проще тогда фурье применить.

Что-то ты путаешь. У топикстартера вполне себе эллиптическое уравнение, которое можно решать и явно (проще, но высок риск накопления погрешностей), и неявно (можно подобрать схему, в которой погрешности накапливаться не будут, но это тот еще геморрой и при составлении системы уравнений, и при программировании).

Ниже ты фактически преобразуешь исходное уравнение в параболическое, вводя «виртуальное время», и решаешь его именно как параболическое. Получается итерационный метод, но есть и прямые методы, я выше говорил именно о них.

ТС-у:

1) задаете начальные значения для потенциала на сетке (какая нить константа, напр совпадающая с потенциалом электродов, или распред потенциала от электродов без учета плотности заряда в области)

2) запускаете интерационную схему, на каждом шаге обходите все ячейки, в каждой ячейке U[i,j] = U[i,j]*(1-alpha)+alpha* ... где 0<alpha<0.5, тремя точками обозначен тот самый крест с учетом гранусловий

3) схему крутите до тех пор, пока во всех ячейках за шаг изменения потенциала не будут меньше некоторой маленькой чиселки epsilon которая и есть точность.

Поддерживаю, при этом альфу можно выбирать, пользуясь полиномами Чебышева — это сглаживает начальные колебания решения (Хокни, Иствуд, Численное моделирование методом частиц — ТС, посмотри и эту книжку, она тоже годная, хоть и посложнее, чем Мак-Кракен с Дорном). А можно и просто попробовать разные альфы — при какой лучше сходится, ту и оставить.

Бахвалова в топку ибо «для академиков».

Ага, я помню, как мне, пацану из деревни, который из компьютеров видел только «Спектрум», на 2 курсе порекомендовали эту книжку в качестве учебника по численным методам. Я хоть и любил математику, но мягко говоря офонарел. Хорошо, что мне вскоре попалась книжка Мак-Кракена и Дорна — там все нужные методы были рассмотрены наглядно и с примерами :-)

> Что-то ты путаешь.

Ну да, с терминологией слажал, каюсь. Но тем не менее неявные схемы для двумерных и более задач я б никому не рискнул советовать - если человек сам до этого не дошел, то есть куда более приятные способы вывихнуть себе мосг;-)

Но тем не менее неявные схемы для двумерных и более задач я б никому не рискнул советовать

Полностью согласен. Выводить их, а потом еще и программировать — та еще гимнастика для внимательности.

thx за книжку. ещё нашёл хорошие описания алкоритмов в книжке «молоковский, сушков — интенсивные электронные и ионные пучки». сделал всё методом верхней релаксации, считает отлично, примерно за ~2n итераций.