Построить кривую через заданные точки

man интерполяция

Можно использовать сплайны https://en.wikipedia.org/wiki/Spline_(mathematics) . Обычно используют сплайны 3-его порядка, согласуя первую и вторую производные, тогда получается как кривая, проведенная с помощью лекала.

Сплайнами 3-го порядка можно объединить, например, 50 точек?

Если N небольшое и функция не важна, бери полином N+1. Сплайны уже посоветовали. Для трехмерного пространства, наверняка, уже есть готовые решения, но если хочешь повелосипедить, фить проекции.

Любыми сплайнами любого порядка можно «объединить» любое количество точек. Я бы использовал локальные параметрические.

Конечно. Внутри каждого интервала это кривая третьего порядка со своими коэффициентами. В точках происходит сопряжение производных.

А коэффициенты каждый раз свои для различных отрезков? Если разные, то как же их высчитывать

По формулам, вестимо. Которые следуют из критериев построения.

Разные. Составляются системы уравнений (они будут линейными) и высчитываются. Скорее всего можно сходу найти готовые библиотеки: сплайны используются повсеместно.

Вам же просто нужно интерполировать точечные значения, правильно? (во всяком случае ваша постановка задачи звучит как обычная интерполяция) Советую воспользоваться интерполяционным многочленом Лагранжа, он элементарно составляется по известным сеточным значениям без всяких премудростей. Если не слышали о таком, просто возьмите из поисковика и радуйтесь. И не надо никаких сплайнов, не усложняйте заурядную интерполяцию.

Лор такой лор... Тонны бреда с уверенным тоном...

1. ТС не нужна интерполяция - он строит не функцию, а кривую

2. ТС нежна гладкость (правда, не уточнено какого порядка, потому что он не знает что это такое, но пусть хотя бы первого) - локальный Лагранж идет лесом

3. глобальный Лагранж по 50 точкам будет далек от ожиданий ТС, насколько я могу их предполагать.

Все что тебе надо - это взять кривые Безье и срастить касательные на концах. Для кривой Безье касательная в начале равна

2(P_1-P_0), а в конце 2(P_2-P_0). Кривая проходит P_0 и P_2 - концы кривой.

выводится легко из формулы для кривой второго порядка.

ТС не нужна интерполяция - он строит не функцию, а кривую

Не понял к чему это. Вы факт существования многомерной интерполяции отрицаете? Или не знаете других способов кроме сплайнов?

ТС нужна гладкость

Почему вы считаете что полином Лагранжа не будет гладким? Это будет так только при очень большом числе точек на очень маленьком промежутке (будет сильно осциллировать), но поскольку анонсированно число 50, мне трудно представить на каком напёрстке их надо разместить, чтобы потерять гладкость.

глобальный Лагранж по 50 точкам будет далек от ожиданий ТС, насколько я могу их предполагать.

Что значит далёк от ожиданий? Точность при экстраполяции (не важно чем и как) вообще всегда ниже чем при интерполяции.

Да не, все хорошо, вы во всем правы. И ТС тоже все знает и специалист.

система уравнений выглядит как шестидиагональная разреженная матрица:

1 1 0 P_12 (=) 2*(P_2)
0 1 1 P_23 (=) 2*(P_3)
0 0 1 P_34 (=) 2*(P_4)

Это если у тебя допустим пять точек от P_1 до P_5 с соответственными точками P_ij, которые задают кривую между P_i и P_j. Решение у системы уравнений есессно не одно.

1 в матрице обозначает сразу три единички в стобик. то есть по факту матрица 9x3. Вектор неизвестных это тоже матрица, 9x3. координаты P_ij записаны как строчка. Вектор констант права это матрица 9x3 тоже.

На удивление, но Безье работает и для 3d. Ещё есть SP-Lines.

Я пеиемутил с размерностями, но принцип ясен, я надеюсь 😃

ТС вообще дерево. Решение задачи решили немного отложить, ввиду более срочной функциональности... Но в дальнейшем буду черпать вдохновение в ответах этой темы. Спасибо за ответы!

Сплайны иногда опасная вещь, т.к. можно получить осциллирующую функцию. Проще взять и соединить их прямыми, если много точек.

Насколько ещё помню, это тоже будет сплайн (1-го порядка) :)

Я про сплайны высоких порядков вел речь)

кубический сплайн

Пока что я так и сделал - тупо прямыми и всё :)