Использование chrome/chromium в dual boot в Linux

Хоме в системе должен быть свой.

отчего же. Если учетная запись сетевая (LDAP), то логично и чтобы home был сетевым и общим.

А ключ пустой дает выставить? Насколько я понял за ключ отвечает не хром, а seahorse, где это настраивается

Есть ли способ отключить это поведение

это вряд ли

его как-то обмануть?

попробуй. (например, переименуй/перемести директорию с куками – а в настоящую монтируй в каждой ОС свой каталог)

Эта тема одна из причин, отчего. Но причина далеко не единственная. На форуме можно найти немало подтверждений. Только мало кто понимает, что причина в использовании одного хоме в разных системах.

chrome хранит cookies зашифрованными ключом, привязанной к конкретной OS.

Скопировать ключ из системного хранилища ключей.
См. например как тут копируют ключ от Google Chrome в Chromium применительно к gnome-keyring: https://superuser.com/a/1691264

его как-то обмануть

Чрут с rootfs какой-нибудь минимальной системы, поставить туда хром. Запускать через bubblewrap, пробрасывая туда иксы/вейланд, звук и т.п. Можно и /home замапить туда, чтобы совсем незаметно было.

в другую систему

Или выбрать какую-то из них как основную для Хрома, монтировать её куда-нибудь, когда грузится другая, и бабблврапаться туда (не забыв пробросить девайсы и /home)

Вынести хром в какой нибудь контейнер или виртуалку. Ещё стоит прочесать какие файлы открывает хром при запуске - вруг там что то в /tmp или /var.