Второй ext4 раздел в Ubuntu оказывается защищённым от записи

Потому что у тебя нет прав на запись туда. Можешь в принципе сменить права корневой директории диска на что-то вроде drwxrwxrwx и писать туда спокойно любым пользователем.

Для смены точки монтирования пропиши его в /etc/fstab по образу и подобию существующих там разделов.

Можешь в принципе сменить права корневой директории диска на что-то вроде drwxrwxrwx и писать туда спокойно любым пользователем.

Вот только не надо этого советовать. Сейчас ТС ещё к тому же сменит права рекурсивно, а потом у него будут проблемы с запуском системы и авторизацией. В итоге это приведёт к необходимости переустановки системы, ну или вы ему, конечно же, объясните как вернуть все права назад.

но не думаю, что это как-то связано с правами доступа.

А связано именно с ними.

Другие разделы на том же HDD, но форматированные в NTFS проблем с доступом не имеют.

Потому, что там NTFS и у вас в опциях монтирования указано какую учётную запись назначить владельцем всех файлов на смонтированной файловой системе.

В чём может быть причина возникновения такой ситуации и как её можно исправить?

Причина в правах доступа, а исправляется указанием соответствующих опций при монтировании файловой системы, в которых указан владелец файлов на файловой системе и указаны маски прав доступа у создаваемых файлов и директорий, так же помогает отчасти рекурсивное назначение прав по всей смонтированной файловой системе.

Читайте:

man mount

каким образом можно будет изменить точку монтирования второго ext4 раздела, чтобы его путь был не /media/* , а, допустим, /disk2

Вам уже ответили, но повторю ещё раз, пропишите параметры монтирования этой файловой системы в /etc/fstab.

man chown man fstab

P.S. Почините эту сраную капчу, она половину изображения показывает!

А что не так? Я же не про корень системного раздела, а только про корень раздела с данными.

Суть понял, но с параметрами user/owner не совсем разобрался. Насколько я понял, достаточно просто указать, например, owner, чтобы доступ был у всех. В /etc/fstab прописываю такую строку:

/dev/sda6 /disk2 ext4 owner,errors=remount-ro 0 2

Насколько я понял, достаточно просто указать, например, owner,

Вы бы хоть читали внимательнее описание опций. Опция owner указывает, что файловую систему может размонтировать владелец блочного устройства, а не только root.

Добавляете в /etc/fstab такую строку:

/dev/sda6 /disk2 ext4 defaults,errors=remount-ro 0 2

Далее выставляете права доступа:

chmod -R 0777 /disk2

Но при этом файлы созданные от вашей учётно записи сможете удалить только вы или root, если нужно, что бы все пользователи могли записывать файлы, перезаписывать, удалять, то либо выставляйте принудительно рекурсивно права доступ 0777, либо разбирайтесь с acl:

/dev/sda6 /disk2 ext4 defaults,errors=remount-ro,acl 0 2

Спасибо за помощь и за указание допущенных ошибок.