детское впечатление.

afb = ln(e^a+e^b)?

afb = max(a, b)?

afb = (a + b) / 2

ок. тогда удивление отчего в качестве примера в той книжке(помню что детская энциклопедия математики - однако сколько не листал её скан на нахожу того футнота) использосвали что то сложное с логарифмом.

а както можно описать (перечислить) все такие функции относительно + ? ( т.е над которыми + дистрибутивен?)

1000+max(10,100)!=max(1000,10)+max(1000,100)

чёт пока не очевидно как проверить дистрибутивность

помню что детская энциклопедия математики - однако сколько не листал её скан на нахожу того футнота) использосвали что то сложное с логарифмом.

помню что детская ... что то сложное с логарифмом.

детская ... логарифмом.

Что?

ну да.

была серия книжек (каждая однотоного цвета все в серии разного)

так зелёная или синяя(тёмно) так и называлась

энциклопедия толи юного толи математика

толи математическая энциклопедия школьника

и в анотации указана ца - от 6 до 13 лет .

логарифмической линейкой можно и в начальной школе научить пользоватся.

эээ фроде не то ибо

тут ( f ==ln(e(b)+e(c)) ) получается

a+f(b,c)=f(ab,ac) что несколько не то.

а нужно

a+f(b,c)==f(a+b,a+c)

Для начала я бы попытался найти ноль и единицу для такой операции.

a+(b~c)=(a~b)+(a~c)

взяв а=0 имеем (b~c)=(0~b)+(0~c)

обозначим g(x)=0~x; тогда (b~c)=g(b)+g(c)

a+(b~c)=(a~b)+(a~c) переписывается как:

a+(g(b)+g(c))=(g(a)+g(b))+(g(a)+g(c))

a=g(a)+g(a)

отсюда, очевидно, g(a)=a/2 и a~b=(a+b)/2

p.s. задача и правда для школьников от 6 до 13; с логарифмами видимо че-то другое было

годное рассуждение показывающее , что если ~ применимо к 0 то оно обязоно быть полусуммой.

однако т.к саму тему тут вспомнил от колец и т.п. «там» точно было другое ибо у полусуммы нет нейтрального элемента ( точнее всякий элемент сам себе нейтральный т.е если да + это 0 для * 1 ) т.е там именно была конструкция в которой классический + выполнял роль 2ой операции , а роль первой какая то конструкция у которой был единичный элемент- факт что она от двух аргументов «росла медленей» - подобно тому что сумма «медленей» умножения

когда-нибудь я научусь читать внимательно :(

a+(b~c)=(a~b)+(a~c)

Там опечатка — нужно a + (b ~ c) = (a + b) ~ (a + c), подстановка a = 0 ничего не даст.

а нужно

a+f(b,c)==f(a+b,a+c)

Ну так оба варианта jtootf подходят, оба симметричны и у обоих есть уникальный нейтральный элемент — минус бесконечность (у полусуммы нет).

Ну и min с плюс бесконечностью тоже подходит.

Равно как и несчётное количество формально неравных функций возвращающих число на действительную константу меньшее / большее максимума / минимума данных двух чисел.

там был какойто зверь симетричный т.е afb=bfa и чёто с логарифмами (т.е ни а ни b «недопустимы нулями быти») т.е может даже как пример кольца где арифмитический плюс в роли «умножения в кольце»(чтобы это не значило).

дык min в роли 1ой и + в роли 2ой операции , а не когда min в роли 2ой (т.е вместо умножения aM(b+c)=aMb+aMc(тоже не катит))

1000+min(10,100)!=min(1000,10)+min(1000,100)

«недопустимы нулями быти»

ыыы! так это просто прологарифмированная R+

x~y=ln(exp(x)+exp(y))

a+(b~c)=a+ ln(exp(b)+exp(c)) =ln[ exp(a)(exp(b)+exp(c)) ] = ln(exp(a+b)+exp(a+c)) = (a+b)~(a+c)

я-то думал там че-нить интересное будет

p.s. нулем для операции ~ является — inf, «недопустимы нулями быти»

я выше ошибся.

да видимо оно. забавно какое следствие когда знание далеко не есть понимание.

т.е почти никогда не думал о логарифме от суммы экспонент аргументов есть к плюсу тоже что и плюс к умножению.

т.е ln(sum exp args) : + == + : *

зы. остаётся вопрос единственная это операция относительно плюса которая не есть просто среднее.

ззы. т.е можно ли прикрутить суда ещё какой вариант среднего(арифмитическое уже/гармоническое это) - может геом или ещё чё

1000+min(10,100)!=min(1000,10)+min(1000,100)

1000 + min(10, 100) = min(1000 + 10, 1000 + 100) это называется дистрибутивность + over min (аналогично * over + — мы меняем * на + и + на min). Дистрибутивность over + бы была a ~ (b + c) = (a ~ b) + (a ~ c), подобно *.

остаётся вопрос единственная это операция относительно плюса которая не есть просто среднее.

По идее — берём _любую_ функцию R -> R с графиком в R^2, располагаем её в плоскости в R^3 перпендикулярно вектору (0, 0, 0) -> (1, 1, 1) и ведём по нему (мы хотим, чтобы в любой точке (x, y) из значения f(x, y) при сдвиге в точку (x + a, y + a) получалось значение f(x, y) + a) образуя поверхность в R^3 которой будет соответствовать дистрибутивная под + бинарная операция R^2 -> R. То есть образовать таких различных операций можно столько, сколько функций R -> R с графиками — поверхности сохраняют свои свойства (их функции — дистрибутивность под +) инвариантно относительно симметрий сдвигов в R^3, вращений вокруг прямых параллельных вектору (0, 0, 0) -> (1, 1, 1), сгибам и изломам относительно них же.

дык в начальном топике дистрибутивность + над f постулируестся

а разве + над min дистрибутивна???

это конечно познавательно про описание свойств графиков подходящих . а конструктивно?

дык в начальном топике дистрибутивность + над f постулируестся

Тогда это должно быть a + f(b, c) = f(a + b, a + c), а не a + f(b, c) = f(a, b) + f(a, c) как в OP (вообще ничего ни over ни under чего-либо). То есть, ещё раз:

g(a, f(b, c)) = f(g(a, b), g(a, c))

g дистрибутивна над (over) f и f — под (under) g. Плюс на верхнем уровне и слева и справа быть никак не может.

а разве + над min дистрибутивна???

Ну да, a + min(b, c) = min(a + b, a + c) — если b < c, то a + b = a + b, иначе a + c = a + c.

а конструктивно?

Нужно просто поддержать это геометрическое наблюдение технически — взять y |-> h(y), протащить по оси x, будут точки (x, y, h(y)), и воздействовать на эту поверхность матрицами вращения переводящими (1, 0, 0) в (1/sqrt(3), 1/sqrt(3), 1/sqrt(3)), получится система:

a(x, y) = -h(y) / sqrt(6) - y / sqrt(2) + x / sqrt(3)
b(x, y) = -h(y) / sqrt(6) + y / sqrt(2) + x / sqrt(3)
c(x, y) = sqrt(2/3) h(y) + x / sqrt(3)

для любой h решение, если оно существует, в виде c(a, b) будет искомой бинарной операцией. Для примера:

h(y)                c(a, b)

0                   (a + b) / 2
ky + r              (a + b) / 2 + sqrt(3) k (b - a) / 2 + sqrt(3/2) r
k|y| + r            (a + b) / 2 + sqrt(3) k |a - b| / 2 + sqrt(3/2) r
y^2                 (a + b) / 2 + sqrt(3/8) (a^2 + b^2) - sqrt(3/2) a b
и т.д.

каждую из которых, опять же, можно двигать, вращать, гнуть и ломать (так они друг в друга и переходят, можно допустить).

по ОР(Open Post right?)

я ошибся в записи да.

подразумевал a+(b~c)==(a+b)~(a+c).

там была «гладкая» т.е в школьном курсе min и max как функции|операции редко когда вообще расматривались(если вообще) и тем более через модуль ещё более редко определялись (полусумма+- модуль полуразности)

помню просто своё удивление когда обнаружилась какая то крокодилистая (судя по выше постам там видимо был лог от суммы экспонент) функция которая к плюсу в отношении плюса к умножению. может буть функция более вменяемой(очевидной) - удивление было бы меньше.