Топик тупости. Объясните, почему матрицы в математике имеют большое значение?

прочитай определение матрицы.

А что есть матрица?

в одномерном пространстве мы оперируем одномерными коэффициентами, а в N-мерном нам требуются вещи посолиднее

Почему операция перемножения двух матриц настолько важна в математике и почему находит широкое применение в разных областях, обработке изображений, сигналов и т.п.? Почему именно матрицы, а не ряды чисел, умножаемые на коэффициент?

Это делает формулы обобщенными, а также более лаконичными, что делает их более легкими в понимании.

Все зависит от прикладной области, ведь иногда городятся слишком разреженные матрицы и это, иногда, оверкилл.

Попробуй написать софтовый рендерер или физический движок. Или хотя бы выучи OpenGL. Без матриц там никуда - очень удобный инструмент.

Почему операция перемножения двух матриц настолько важна в математике и почему находит широкое применение в разных областях, обработке изображений, сигналов и т.п.? Почему именно матрицы, а не ряды чисел, умножаемые на коэффициент?

http://ru.wikipedia.org/wiki/Матрица_поворота

это конечно капля в море, но все равно.

В общих чертах матрицы нуны потому, что каждое число в новом векторе зависит одновременно от всех векторов матрицы.

Потому что матрица — всего лишь представление линейного оператора в каком-то базисе и правило умножения матриц просто выражает композицию двух линейных операторов в нём (базисе), т.е. произведение матриц равно матрице линейного оператора являющегося композицией двух линейных операторов с данными матрицами. Появляется часто, поскольку на практике любая задача сводится к последовательному решению более простых линейных задач.

Матрицы важны тем, что это аппарат для представления линейных операторов. А линейные операторы важны тем, что это аппарат для локальной аппроксимации гладких функций.

Потому что часто нужно «что-то на что-то умножить и потом сложить», и проще это выразить через умножение/обращение матриц, чем записать с нуля элементарными операциями. Code reuse в общем.

Вдобавок матрица:

• имеет простую компактную форму записи (табличка с числами);
• имеет простое наглядное представление (отображение линейного пространства);
• имеет хорошо исследованные свойства, которые позволяют проверить корректность вычислений и/или что-то упростить.

Возможно, если бы другой аналогичный по мощности и простоте инструмент придумали раньше, умножение матриц наоборот сводили бы к нему.

Почему операция перемножения двух матриц настолько важна в математике и почему находит широкое применение в разных областях, обработке изображений, сигналов и т.п.?

Потому что монитор прямоугольный.

а если бы был круглый с развёрткой по спирали? :)

Тогда бы перемножали спирали.

Потому что в терминах матриц можно описать много различных задач. Встречаются они почти во всех разделах математики.

Операция умножения матрицы на вектор имеет суть применения линейного оператора к этому вектору, умножение матрицы на матрицу - получение оператора, являющегося композицией исходных операторов. А уж сколько смысла несут в себе определитель, собственные числа и вектора, норма, сингулярные числа и сингулярное разложение, и так далее...

Самое главное про линейное операторы уже сказали. Кроме того, операция матричного умножения имеет такие же свойства, что и групповая операция в общем виде, следовательно, рассматривая групповые свойства объектов, можно работать не с самими группами (это может быть очень нетривиально), а с гомоморфными им группами матриц (умножение матриц просто и понятно).

потому, что Матрица - это все и даже небо, даже Аллах...

Потому что другие DSLы (domain-specific language) для задач, в которых применяется матричное исчисление, ненаглядны и малоэффективны.

Почему именно матрицы

Потому что лучше всего математики научились решать системы _линейных_ уравнений. А матрицы - удобный способ их представления.

Потому что мы живем 3Д мире, и еще время...

Потому что удобно

Почему именно матрицы, а не ряды чисел, умножаемые на коэффициент?

Ну, вообще-то при повороте вектора, например, хотя в матиматической записи и фигурирует матрица, на арифметическом уровне ты занимаешься именно многократным умножением ряда чисел на коэффициент. Так что это всего лишь вопрос уровня абстракции.

Не так уж они и важны. Сравните с важностью той же концепции «множеств», к примеру.