Чем отличается k-алгебра от поля?

ботаю уже второй час, и никак не могу понять, что же это за зверь k-алгебра.

Это множество со структурами: а) векторного пространства над k б) кольца

При этом эти структуры согласованы во всех возможных смыслах (всякие дистрибутивности там....).

Пишут, что гомоморфизм поля K в кольцо R индуцирует k-алгебру.
Каким образом индуцирует? Да и что это вообще такое?

Ну, если есть гомоморфизм $\phi: k -> R$, то структура линейного пространства над $k$ на $R$ получается так: $\lambda * r = \phi(\lambda)r$.

А лучше ответить примером.

R[x] / x^2 — это алгебра над полем R. Она состоит из линейных многочленов от одной переменной с вещественными коэффициентами, а умножаются они с учетом правила x^2=0. Оно не поле, ибо делители нуля есть (например, элемент x в квадрате дает ноль, а значит, необратим).

Структура векторного пространства над R тут вполне естественная — эти многочлены можно складывать и умножать на вещественные числа. Структура кольца — тоже, как их умножать, я указал.

Гомоморфизм, о котором рассуждает автор читаемой тобой книги, здесь такой: число 1 переходит в многочлен 1.

Метки: матан

Не матан, а алгебра :)

Это множество со структурами: а) векторного пространства над k б) кольца

то есть обычное векторное пространство над полем с векторным произведеним будет к-алгеброй?

Ну, если есть гомоморфизм $\phi: k -> R$, то структура линейного пространства над $k$ на $R$ получается так: $\lambda * r = \phi(\lambda)r$.

не понимаю. Есть поле k. Откуда там вообще берется векторное пространство? Каким образом?

не пробовал задавать такие вопросы на dxdy.ru? спецов там на порядки больше, чем тут

то есть обычное векторное пространство над полем с векторным произведеним будет к-алгеброй?

В разных книжках — разные (я встречал неэквивалентные!) определения. Если я всё правильно понял, в читаемой книжке предполагается, что само поле k вложено в кольцо R. Так что твой пример подходит под более слабое определение, но не под это:)

А вообще, вот другой пример: матрицы 2*2 — вполне себе k-алгебра, где k — поле, которому принадлежат элементы матриц. Их можно умножать друг на друга, складывать, вычитать, умножать на числа из поля. Кроме того, в них вложено само поле в качестве диагональных матриц.

R[x] / x^2 — это алгебра над полем R. Она состоит из линейных многочленов от одной переменной с вещественными коэффициентами,

почему? А куда деваются кубические из т.п. члены из R[x]?

а умножаются они с учетом правила x^2=0. Оно не поле, ибо делители нуля есть (например, элемент x в квадрате дает ноль, а значит, необратим).

хм. непонятно. Откуда там возьмется x^2? если он уже по определению в классе эквивалентности [0]?

Гомоморфизм, о котором рассуждает автор читаемой тобой книги, здесь такой: число 1 переходит в многочлен 1.

А каким образом этот гомоморфизм индуцирует вообще всю эту структуру?

Метки: матан

Не матан, а алгебра :)

матан - это имя нарицательное :)

\s\диагональных\скалярных, т.е. вида

a 0
0 a

то есть обычное векторное пространство над полем с векторным произведеним будет к-алгеброй?

В разных книжках — разные (я встречал неэквивалентные!) определения. Если я всё правильно понял, в читаемой книжке предполагается, что само поле k вложено в кольцо R. Так что твой пример подходит под более слабое определение, но не под это:)

лектор дал такое определение (k вложено в R). Я его никак не могу понять. Пошел в библиотеку - обложился книжками. Потом гуглил. Все стало еще более непонятно :( Решил на ЛОРе спросить от отчаяния.

Потом сказано пример - L[x1,x2,...,xn] есть к-алгебра. Ладно. Вроде как полиномы можно втупую и перемножать и все что хошь с ними делать. Но каким образом это вписывается в определение?

R[x] / x^2

Так я (и не только я) называю кольцо многочленов с коэффициентами из R, отфакторизованное по идеалу, порожденному многочленом x^2.

а умножаются они с учетом правила x^2=0.

Имелось в виду следующее: (ax + b)*(cx + d) := (ad+bc)x + bd

А каким образом этот гомоморфизм индуцирует вообще всю эту структуру?

Есть: операция умножения элементов из R друг на друга, отображение из k в R.

Надо: операцию умножения элементов из R на элементы из k/

Как: берем элемент r \in R, элемент a \in k, отправляем a в phi(a), это уже элемент R. А элемент из R мы уже умеем умножать на элемент R. умножаем.

>А куда деваются кубические из т.п. члены из R[x]?

x^3 в данном случае тоже лежит в классе эквивалентности нуля.

x^3 в данном случае тоже лежит в классе эквивалентности нуля.

если под x^2 понимать идеал порожденный x^2, то да. Для меня просто обозначение непривычно. (я бы (x^2) писал).

если под x^2 понимать идеал порожденный x^2

Да, конечно. Его же в скобочки берут.

Есть: операция умножения элементов из R друг на друга, отображение из k в R.

Надо: операцию умножения элементов из R на элементы из k

я путаюсь - R - это в данном случае кольцо или поле вещественных чисел?

2 часа мало :-P

гомоморфизм поля K в кольцо R индуцирует k-алгебру.

индуцирует = создаёт, влечёт существование.

- Поцаны, мне нужна k-алгебра! - Гомоморфируй поле К в кольцо R..

В процитированном сообщении - кольцо.

Так. попробую еще раз по-порядку.

Есть K[x]/(x^2). Попробуем воткнуть его под понятие к-алгебры.

Имеем поле - K. Имеем кольцо K[x] с обычной операцией перемножения многочленов. Делаем факторизацию по (x^2). Получаем кольцо из линейных многочленов. А где к-алгебра? Было кольцо, получили кольцо.

Есть: операция умножения элементов из R друг на друга, отображение из k в R.

Надо: операцию умножения элементов из R на элементы из k/

Так ведь получится R-Модуль тогда. поле - это также абелева группа. А если в качестве умножения будет RxK -> K, то как раз будет R-Модуль.

PS мля. Как же можно так херово читать лекции :( вроде ж и не тупой, а и линейку, и топологию, а теперь вот это вот приходится из книжек в итоге учить, а не из лекций :(

Так ведь получится R-Модуль тогда.

Нет, k-модуль. Прочитай ещё раз «Надо».
элементы из R надо научиться умножать на элементы из k. Элемент из k слева, элемент из R справа. k-модуль.

че-то я вообще перестал понимать. k-модуль - это же не k-алгебра?

k-алгебра

Подумал вначале что это чтото из КДЕ

Вот смотри тут, вроде понятно описано: http://page.math.tu-berlin.de/~sete/pdf/la2tut08.pdf

ну наконец-то человеческим языком написано!

вещественная n-алгебра - это алгебраическая структура, удовлетворяющая аксиомам кольца (обычно невырожденного), n-мерного векторного пространства над R и аксиоме:

для любых двух элементов a и b и любых двух вещественных чисел m и l справедливо (al)(bm) = (ab)(lm)

произведение двух базисных элементов алгебры можно записать в виде

e(i) * e(j) = C(i,j,k)e(k)

где C(i,j,k) - структурные константы алгебры

так, например, C - это вещественная 2-алгебра; H - вещественная 4-алгебра, O - вещественная 8-алгебра. C' (алгебра двойных чисел) - тоже вещественная 2-алгебра, но, в отличие от C, без деления (не является полем, содержит делители нуля)

впрочем, это не совсем то определение, которое тебе нужно. если я правильно понял, то подставь k := R и оно будет частным случаем

модуль

если ты построишь векторное пространство не над полем, а над кольцом, получишь модуль

Напишу точно с конспекта:

=========

Определение: Кольцевой гомоморфизм i:K->R индуцирует структуру K-Алгебры на кольце R.

=========

Потом написано:

=======

другими словами K-Алгебра R это:

1) Кольцо 2) K-векторное пространство

========

И как из первого определения следует второе я хоть убей не понимаю.

модуль

если ты построишь векторное пространство не над полем, а над кольцом, получишь модуль

o_O

у меня написано, что R-модуль - это абелева группа M и кольцо R. При том, что определена операция f: RxM -> M

у меня написано

то же самое, просто другими словами

у меня написано

то же самое, просто другими словами

и откуда там берется векторное пространство? Ведь векторное пространство подразумевает под собой _вектора_ (то есть (a1, a2,..., an)). А в моем определении есть группа и кольцо. Откуда берутся вектора?

попорбуй почитать здесь. там есть оба определения и набор примеров

попорбуй почитать здесь. там есть оба определения и набор примеров

Ааа. Понял вроде. То есть имеется в виду лишь то, что векторное пространство - это один из случаев абелевой группы.

Ок. с этим разобрались. А что делать с главным вопросом?

Чем отличается k-алгебра от поля? (комментарий)

кажется, речь об этом определении

Твоё первое определение означает:

Если у тебя есть К-векторное пространство, которую можно «привести» к структуре вида кольцо R. Это значить, что это приведение это и есть тот самый гомоморфизм. Именно поэтому К-Алгабра R это твой 2)*

В том-то и проблема, что в моем первом определении нет ни слова о векторном пространстве. Но даже если предположить, что под символом К скрывается именно векторное пространство над полем, то ... OSHIT.

Кажись вкурил. Значит с помощью этого гомоморфизма я получаю структуру кольца на Векторном пространстве K. Но ведь в определении не сказано о том, что K - это векторное пространство.

Но даже если предположить, что под символом К скрывается именно векторное пространство над полем

так и есть

Значит с помощью этого гомоморфизма я получаю структуру кольца на Векторном пространстве K

так я это понимаю.

Но ведь в определении не сказано о том, что K - это векторное пространство.

Ты ведь читал тот пдф из моего первого поста? ;)

Может твой лектор подразумевал, что это очевидно? Так делал например мой лектор - уменьшал популяцию на студентов.

Ты ведь читал тот пдф из моего первого поста? ;)

да. Там, кстати, наиболее вменяемо написано.

Что меня сбивает, так это то, что чуть ли не 10 разных определений. Причем постоянно что-то замалчивается (типа очевидно). Как результат сижу пол-дня над определением, вместо того, чтобы приступить собсно к основной теме: SB-Algorithmen für K-Algebren.

Причем дальше тоже невменяемо :(

Бесит.

Может твой лектор подразумевал, что это очевидно? Так делал например мой лектор - уменьшал популяцию на студентов.

Гнать в шею таких лекторов.

Бесит.

знакомо.

Гнать в шею таких лекторов.

согласен но у нас получилось наоборот. он за один семестр уменьшил популяцию с 62 до 9. А на устном экзамене он мог на тебя минут 5 орать если ты не догадался, что он от тебя хочет.