я сам догадался: когда мы «закончим» построение, мы получим такого «ёжика», у которого торчат треугольники наружу. Треугольники бесконечно малые и их бесконечно много, это не совсем треугольники, но порядок малости отличия меньше площади. Потому можно взять, и посчитать бесконечную сумму площадей бесконечно малых треугольников. Я очень удивлюсь, если она не будет равна 4-π.
Кому не лениво, можете посчитать этот бесконечный ряд. За ручкой лень идти, а на компьютере я формулы не вывожу.
*делим окружность набором точек на равные сколь угодно малые дуги;
*на концах этих дуг строим перпендикуляры к ним, длиною, равной расстоянию между точками, так, чтоб окружность пересекала перпендикуляр в середине;
*потом эти перпендикуляры соединяем в непрерывную кривую.
Вот картинка, простите за неровный почерк http://s7.postimg.org/4lsiqrdu3/image.png. Такая штука приблизит окружность сколь угодно хорошо, но длину будет иметь в два раза больше.
Если что, число пи вычисляют с помощью описанного и вписанного многоугольника одновременно, а не строго одного. На картике только описанный вокруг окружности - это неправильно.
И вообще, так же можно доказать, что корень из двух равен двум.
Возьми квадрат и согни пополам, Потом кончик загни, как на картинке, в первом посте. Потом два кончика, и так далее. В итоге получится половина квадрата. ½==1 ЧиТД.
суть в том, что это не единственнный многоугольник, который ограничивает длину окружности сверху. Если взять стандартное построение выпуклого многоугольника, то мы получим более точное ограничение сверху. С сабже лишь показывается, что pi≤4.