Сумма всех натуральных чисел 1/12?

осталось только выяснить, почему они берут среднее арифметическое, а не среднее геометрическое, к примеру

Ничего подобного, это они так пытаются доказать противоречие. Но противоречия нет, потому что Z+Z=2-2+2-2+2-2… , а не 1+1-1+1-1+1….
Вообще, до того, как начать «разоблачать», неплохо бы ознакомиться с тем, что разоблачаешь. Потому что обобщённая сумма ряда Гранди (1-1+1-1…) по Чезаро равна ½ исходя из определения. А обобщённая сумма натурального ряда по Рамануджану равна -1/12 опять же из определения суммирования по Рамануджану. А с определением спорить бесполезно. А чтобы уличить авторов ролика в опускании терминов «обобщённая сумма» и «суммирование по методу Х», так для этого не надо было строчить такую длинную безграмотную простыну.

почему они берут среднее арифметическое, а не среднее геометрическое, к примеру

Потому что для обобщённой суммы должна выполняться линейность (т.е. SUM(A)+SUM(B)=SUM(A+B)).

Я не понял. Есть определение чему равно 1-1+1-1… ? Так можно определить и то, что 1 + 2 = 7.

Есть определение чему равно 1-1+1-1… ?

Есть определению суммирования по Чезаро. Сумма по Чезаро ряда 1-1+1-1… равна ½.

Есть определению суммирования по Чезаро. Сумма по Чезаро ряда 1-1+1-1… равна ½.

Вот я как раз об этом. Почему это определение, а не теорема, которую можно доказать? В элементарной математике сумма 1-1+1-1… является неопределённой.

Почему это определение, а не теорема, которую можно доказать?

Потому что это определение. Как ты собрался доказывать определение?

В элементарной математике сумма 1-1+1-1… является неопределённой

А при суммировании по методу Чезаро она получается ½.

сумма 1-1+1-1… является неопределённой.

Как и любая другая.

Потому что это определение. Как ты собрался доказывать определение?

Я то как раз не собирался. Но почему определение Чезаро верно? Может быть это такая новая религия?

А при суммировании по методу Чезаро она получается ½.

А если я придумаю ещё десять методов и буду бездоказательно утверждать, что они верны и что 1-1+1-1… = 3/4 ?

Имхо, лучшая книга про него — Г. Харди «Двенадцать лекций о Рамануджане», одна из любимых моих книг по математике.

Как и любая другая.

Не любая. 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... = 1

Суммы всех чисел не существует

Это смотря что понимать под суммой. Если понимать как буквальное: берем первый член ряда, прибавляем второй, третий и т.д., то сумма ряда — бесконечность. Но есть и другой подход: сумма — это некоторая величина, которую можно определить через преобразования, которым она подчиняется. Тут нужно соблюдать известную осторожность, чтобы эти правила не противоречили друг с другом. Если вдуматься, то и этот подход имеет право на жизнь. Мы и предметы физического мира познаем через преобразования над ними. А уж придумать способ суммирования бесконечного ряда, который бы сохранял подобные групповые свойства, можно.

Нет, эта тоже не определена, до тех самых пор, пока ты её не определил.

Просто у Рамануджана в какой-то момент переполнился в мозгу регистр, и сумма получилась отрицательной.

Формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии имеет доказательство. Но суммирование по методу Чезаро, на сколько я понял, доказательства не имеет. Или всё таки имеет?

Без определения того, что такое сумма, не имеет ни доказательства, ни смысла.

У тебя явно большие проблемы с пониманием, что из себя представляет математика. ЦПШ или просто гуманитарий?

Но почему определение Чезаро верно?

Что такое «верно» в отношении математической операции? Весь вопрос в нужности той или иной операции. Для суммирования по Чезаро выполняются все требования обобщённого суммирования, что делает его пригодным для получения обобщённой суммы ряда:
1) оно линейно — SUM(A)+SUM(B)=SUM(A+B)
2) оно регулярно — если ряд сходится и имеет сумму в обычном понимании, то этот ряд имеет сумму и по Чезаро, причём значения этих сумм совпадают
3) оно эффективно — то есть существуют ряды, не суммируемые в обычном понимании, но имеющие сумму по Чезаро.

А если я придумаю ещё десять методов и буду бездоказательно утверждать, что они верны и что 1-1+1-1… = 3/4 ?

Пожалуйста, если это кому-нибудь пригодится, возможно даже в будущих веках (комплексные числа приняли тоже далеко не сразу). Только учитывай, что любое (точнее, любое, которое даёт для суммы конкретное значение) линейное и регулярное суммирование обязательно для ряда Гранди даст значение ½, так что каким-нибудь из этих свойств придётся пожертвовать и это уже не будет методом обобщённого суммирования.

Не существует «обычного понимания», это понятие для быдла и ГСМов.

Существует сумма ряда, по определению задаваемая пределом частичных сумм, не больше, не меньше.

потому что сумма по Чезаро никакого отношения к операции сложения не имеет, и уж тем более не обладает её свойствами

Что такое «верно» в отношении математической операции?

В данном случае, что сумма 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - ... равна результату, полученному методом Чезара. Кто сказал, что у этой суммы вообще есть результат?

потому что сумма по Чезаро никакого отношения к операции сложения не имеет, и уж тем более не обладает её свойствами

Если к сложению никакого отношения не имеет, тогда и не надо применять этот «метод» к суммам вида 1 - 1 + 1 - 1 + ...

Без определения того, что такое сумма, не имеет ни доказательства, ни смысла.

Открой справочник по элементарной математике и найди там определение суммы.

У тебя явно большие проблемы с пониманием, что из себя представляет математика. ЦПШ или просто гуманитарий?

У тебя явные проблемы с головой.

Предположим, что суммирование по Чезаро верно.

Тогда если 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - ... = 1/2
то
- (1 - 1 + 1 - 1 + 1 - ...) = -1/2
-1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ... = -1/2

Но если поменять местами все чётные и нечётные члены последовательности, получим

1 - 1 + 1 - 1 + 1 - ... = -1/2

Это означает, что 1/2 = -1/2, но это нонсенс и полная чушь.

Я не вижу в справочнике по элементарной математике определения суммы бесконечной последовательности, потому что его там нет. Для этого требуется элементы анализа, а именно теория пределов.

А причина одна - ты никогда и не видел ни справочники по математике, ни литературу по анализу. Просто очередной даун, принимающий свои заблуждения за математику.

Для таких нонсенсов и полных чушей достаточно условно сходящихся рядов. Теорема Римана она такая.

Но гуманитарный биомусор конечно в недоумении.

1 - 1 + 1 - 1 + 1 - ...

Картинка частичных сумм, можем провести среднюю линию по 1/2, среднее сумм сходится к 1/2.

-1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ...

Тут линия средних по -1/2.

-1 + sum (-1)^n, n=2 to infinity = sum (-1)^n, n=1 to infinity (-1 + 1/2 = -1/2).

Это означает, что 1/2 = -1/2

Это означает, что пределы (sum (sum (-1)^n, n=1 to a), a = 1 to x) / x = -1/2-1/(4 x)+(-1)^x/(4 x) и (sum (sum (-1)^n, n=2 to a), a = 2 to x) / x = 1/2-1/(4 x)+(-1)^x/(4 x) не равны.

Менять местами все чётные и нечётные это отразить график частичных сумм (первый был положителен, стал отрицателен и т.д.) и тем отразить линию 1/2 в -1/2.

В данном случае, что сумма 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - ... равна результату, полученному методом Чезара. Кто сказал, что у этой суммы вообще есть результат?

а почему ­— нет?

Но если поменять местами все чётные и нечётные члены

этого делать нельзя даже в сходящемся ряде. Только в том случае, если ряд сходится абсолютно. В противном случае перестановкой можно получить любое наперёд заданное число.

можем провести среднюю линию по 1/2

не обязательно. Достаточно заметить, что S₂=S₁-1.

0 - 1 - 2 - ... — s_2 = s_1 - 1.

Предлагаю тебе пойти и «эксперементально подтвердить», что сумма 1/n не сходится.

Ты видео чем смотрел? Там утверждалось что сумма большого количества целых положительных чисел равняется отрицательной дроби. Это очень легко проверяется экспериментом - на спичках. Сколько целых спичек в штабеля не складывай - в сумме из них не получишь огрызок спички, тем более отрицательный. А про какую сумму 1/n ты говоришь, мне не ясно, твоя мысль выражена недостаточно чётко.

Предположим, что суммирование по Чезаро верно

Суммирование не может быть верно или не верно. Оно может быть корректно или некорректно определено. Корректность определения означает что для одного и того же ряда мы по этому определению получаем одно и то же число. Все остальные свойства, как то совпадение с обычным суммированием на сходящихся рядах, линейность и т.п., это уже по сути бонусы к определению, которые показывают, что оно не просто с потолка взято, а имеет некий смысл.

А то что в итоге твоих выводов получилась чушь, это нормально. Ты же свои рассуждения ничем не обосновал.

Я не вижу в справочнике по элементарной математике определения суммы бесконечной последовательности

Я говорил о сумме двух чисел. Докажи метод Чезаро используя это определение.

А причина одна - ты никогда и не видел ни справочники по математике, ни литературу по анализу. Просто очередной даун, принимающий свои заблуждения за математику.

Скатывание к личным оскорбления лишь подтверждает моё утверждение, что у тебя проблемы с головой.

Для таких нонсенсов и полных чушей достаточно условно сходящихся рядов.

Вот ещё один финт ушами - несходящийся ряд объявляется условно сходящимся.

Но гуманитарный биомусор конечно в недоумении.

Сам ты биомусор, раз не в состоянии доказать.

Объясни какова связь между средней линией и суммой несходящейся последовательности.

Зачем так упираться в определение суммы? Или тебя также раздражает и то, что произведений для векторов два, скалярное и векторное?
П.С.
И вообще априории Зенона уже больше двух тысяч лет показывают, что с бесконечными последовательности как с конечными работать не желательно?

Зачем так упираться в определение суммы?

Затем, что это основа.

Затем, что это основа.

Обычная сумма основа, но тут ведь необычная. Я, конечно, дилетант, но не понимаю, есть какое-то определение, которое более широкое, чем обычная сумма, но которая сводится к ней для тех рядов, для которых обычная сумма определена, и проявляет все свойства суммы, и которым удобно оперировать для тех рядов, для которых сумма в обычном плане не существует, почему бы его не использовать и не назвать какой-то особой суммой, в более широком смысле?

А про какую сумму 1/n ты говоришь, мне не ясно

Тебе говорят посчитать \sum_{n=1}^\infty\frac1n, то есть 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ... и доказать почему оно так.

Да и собственно про априории Зенона:
«Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.»
Используя обычное определение суммы, через сколько времени Ахиллес догонит черепаху? Ведь ясно и логично, что он её догонит.

Ты сам не видишь во фразе «докажи метод» ничего странного? Она даже с точки зрения обычного русского языка некорректна

Я попросил доказать правильность метода. Зачем придираться к словам?

Апории Зенона возникли из-за представления о непрерваности. Но мир дискретен.

Это не придирка. Как только ты сформулируешь что именно нужно доказать, явным образом, не пряча это под ничего не значащее слово «правильность», ты поймешь в чем дело.

Если мы начнём суммировать 1 - 1 + 1 - 1 + ..., то получим частичные суммы — 1, 0, 1, 0, .... Вопрос — стремится ли к чему-то среднее этих сумм? Среднее в чётных количествах это n/2n = 1/2, нечётных — n/(2n-1), что стремится к 1/2.

Сходимость и значение суммы _определены_ как предел средних сумм — мы ищем не sum (-1)^n, n=0 to infinity с известным тебе определением, но осуществляем другого рода суммирование, считай за lim (sum (sum (-1)^n, n=0 to a), a=0 to x) / x as x->infinity, результат совпадает с обычным суммированием аналитического продолжения или сглаженной подходящим образом последовательности (-1)^n (см. http://terrytao.wordpress.com/2010/04/10/the-euler-maclaurin-formula-bernoull...).

Наоборот, непрерывность позволяет разрешать такие парадоксы. Ну и пока что в физике пространство и время считается непрерывными.

экспериментом

http://en.wikipedia.org/wiki/Casimir_effect

Используя обычное определение суммы, через сколько времени Ахиллес догонит черепаху? Ведь ясно и логично, что он её догонит.

Используя обычные уравнения и формулу скорости нормальный пятиклассник скажет, что Ахиллес догонит черепаху за время, за которое та проползёт одну девятую часть от тысячи шагов. Выёживающийся студень распишет сходящийся ряд. А работающий дядька выдаёт «Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.» и идёт дальше кодить на php...

Тебе говорят посчитать \sum_{n=1}^\infty\frac1n, то есть 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ... и доказать почему оно так.

VAR
Q1: DOUBLE;
Q2: LONGINT;

BEGIN

Q1:=0;
FOR Q2:=1 TO 100 DO Q1:=Q1+1/Q2;
WRITELN('Q1=',Q1);
Q1:=0;
FOR Q2:=1 TO 1000 DO Q1:=Q1+1/Q2;
WRITELN('Q1=',Q1);
Q1:=0;
FOR Q2:=1 TO 10000 DO Q1:=Q1+1/Q2;
WRITELN('Q1=',Q1);
Q1:=0;
FOR Q2:=1 TO 100000 DO Q1:=Q1+1/Q2;
WRITELN('Q1=',Q1);
Q1:=0;
FOR Q2:=1 TO 1000000 DO Q1:=Q1+1/Q2;
WRITELN('Q1=',Q1);
Q1:=0;
FOR Q2:=1 TO 10000000 DO Q1:=Q1+1/Q2;
WRITELN('Q1=',Q1);
Q1:=0;
FOR Q2:=1 TO 100000000 DO Q1:=Q1+1/Q2;
WRITELN('Q1=',Q1);
Q1:=0;
FOR Q2:=1 TO 1000000000 DO Q1:=Q1+1/Q2;
WRITELN('Q1=',Q1);
Q1:=0;
FOR Q2:=1 TO 10000000000 DO Q1:=Q1+1/Q2;
WRITELN('Q1=',Q1);

END.

Выхлоп:

Q1= 5.18737751763962E+000
Q1= 7.48547086055034E+000
Q1= 9.78760603604435E+000
Q1= 1.20901461298633E+001
Q1= 1.43927267228650E+001
Q1= 1.66953113658573E+001
Q1= 1.89978964138526E+001
Q1= 2.13004815023485E+001
Q1= 2.36030665949975E+001

Логика + компьютер с ЯП во многом заменяют сложную математику.

сложную математику

Вот сейчас смешно стало. Если для тебя это - сложно, то я не знаю, о чем с тобой говорить.