Зачем нужна передаточная функция

она описывает свойства системы управления или её отдельного элемента

Применяется в расчетах обратной связи. Описывает реакцию системы на изменение входного(-ых) параметра(-ов) - включая задержку реакции, скорость изменения выходной величины и т.п.

В аналоговой электронике. Построил передаточную функцию - по ней построил АЧХ и ФЧХ. В первую очередь важна АЧХ: вот пришел сигнал на 3 В, на частоте 1кГц он и будет 3 В, на 10 кГц как упадет до 2.5. Значит, надо коррекцию вносить.

ФЧХ важна чуть меньше, но. Если сигнал с выхода подмешивается ко входу со знаком минус (обратная связь), и фаза вдруг стала 180 градусов, то вместо отрицательной связи получается положительная. И если по амплитуде сигнал не сильно ослабился, то привет. Получишь автоколебания, да еще и с увеличивающимся размахом, т.е. схема уже не работает.

Или же просто разные частоты будут по-разному задерживаться, из-за этого первый трансатлантический кабель не робил: говорим одно, а звуки разных частот приходят совсем не в то время. Когда добавили схему, которая работает прямо как кабель, только в обратную сторону (т.е. выпрямляет фазу), то сразу же все наладилось.

Это верно и для механических (гидравлических/акустических/...) систем, и в ТАУ часто дают примеры на вымышленную авиатехнику. Которая легкая и мощная, значит, колебания давятся плохо. И, если из-за такого фазоразворота получился резонанс, то здрассьте, самолету каюк. В реальности такое кучу раз происходило, например, в виде флаттера или шиммии.

Ну и для звукарей АЧХ объект поклонения. Чем ровнее, тем лучше.

Сверни ее с входным сигналом — получишь выходной.

На мой взгляд, ТАУ лучше всего понимается на прикладном примере ПИД-контроллера. Передаточная функция просто один из показателей.

Моделирование работы поворотного механизма, например. Задача: привести механизм из текущего положения в указанное. Написать программу, в которой движение задается только одним уравнением ПИД-контроллера; графическая визуализация - поворачивающаяся хреновина; меняя коэффициенты в вышеуказанном уравнении получаем разные картины движения. Это и есть разные передаточные функции системы.

Пример задачи, может, сумбурный, но суть именно в ПИД-контроллере. Я совсем не в курсе матчасти ТАУ, просто одно время пришлось немного с этим столкнуться, и понять, что университетский курс совсем не отложился в голове.

а как-то видел на ютубе, где показывали стойкость стойкость системы на приборе который похож на маятник, но мне больше всего непонятно как взять передат. ф-цию из системы (мат. часть), в институте были уже готовый ф-ции, для который мы делали анализ в matlab simulink

Проще всего зайти со стороны электричества. Почти всегда сигнал — напряжение, так что, зная напряжение на выходе, ты можешь поделить на напругу на входе, и получить передаточную функцию. Как считать?

Есть три главных элемента — резистор, конденсатор и катушка (индуктивности).

Если подключить резистор к напряжению (для простоты — переменному), то через него потечет ток, i = U/R. Если конденсатор, то i= U * (j * w * C), т.е. «сопротивление» конденсатора 1/(jwC). Если это катушка, то i = U / (jwL), и ее сопротивление — jwL.

Обычные схемы резисторов считать доводилось? Там последовательное соединение дает R = R1 + R2, параллельное — R1 * R2 / (R1+R2). Потом можно переходить к следующему звену, и еще одному, и так далее. Точно по тем же правилам считаются конденсаторы-катушки, только вместо R1 R2 добавляй эти jwL (1/[jwC]). Можно еще по правилам Кирхоффа считать токи-напряжения.

Если хочется это на практике проверить — возьми делитель напряжения, и посчитай его. Потом замени один резистор конденсатором, будет тебе передаточная функция.

В итоге получается, что ты можешь найти напряжение в выходной точке, выраженное через входную напругу и параметры резисторов-конденсаторов, а это и есть передаточная функция.

...

Другой вопрос: тебе про обратную связь втирают, и усилители, где они? Правильно, в электросхему можно добавить операционный усилитель. Как их считать — отдельная тема, но в общих чертах тоже несложно, можешь глянуть расчеты инвертирующего и неинвертирующего усилителей, и заменить там резистор-другой на конденсатор.

...

Откуда взять такую схему для самолета? А оказывается, что по, большому счету, конденсатор интегрирует сигнал (т.е. накапливает, например, бочка — интегратор воды), а катушка — дифференцирует (здесь сложнее с примером, но тоже можно подогнать, если нужно), а резистор — рассеивает (дырка в шланге, или узкий проход с потерями на трение).

И много чего можно свести к этим трем звеньям. Если добавить усиление (оно же тоже бывает «живым», тот же усилитель руля), то почти все. Эта штуковина называется «динамическими аналогиями», когда схема сводится к электрической.

...

Как считать именно самолет? Не знаю :), разбираться надо, да не так уж и важно — все равно все уже давно посчитано и в CAD-ы зафигачено.

Ну вот смотри... есть у тебя исполнительный механизм. Ну, например, рычаг.

Ты подаешь на 1 конец рычага (вход) управляюще воздействие - тянешь его вверх с определенной скоростью.

Передаточная функция позволяет по по этому воздействию определить как будет двигаться другой конец рычага (выход).

В случае с рычагом все в общем-то очевидно, а если у тебя система имеет пару сотен входов-выходов, то все веселее.

В классическом подходе система разбивается на простейшие звенья с хорошо известными передаточными функциями (усиливающее, интегрирующее, дифференцирующее и т.д. звенья). Как уж это делается вобще отдельная задача. Для элементов автоматики (двигатели, редукторы, усилители) передаточные функции известны. Для каких-то простейших объектов воздействия, например, тележка с перевёрнутым маятником, передаточная функиця определяется по законам механики, лианеризируя уравненяи вблизи интересующей точки. Для сложных объектов может быть применён метод «чёрного ящика», когда смотрят на рекцию выхода под воздействием входа, выбирают более-менее подходящее звено (звенья) и подгоняют их параметры.