доверительные отношения между серверами

не совсем понял что ты имеешь в виду , но если ты про ссш то пчитай про способы аутентификации . тебе нужно использывать способ с RSA/DSA ключём

>не совсем понял что ты имеешь в виду уточняю. есть два сервака, связанные кросс-кабелем ethernet.

Надо, чтобы при запуске скрипта на одном, такой же скрипт запускался на другом и не запрашивал пароля.

Зависит от используемых протоколов. Для rsh/rexec - man hosts.equiv. Для кербовых вариантов можно воспользоваться "kinit -k keytab" перед вызовом rsh. Для ssh - уже сказали, или тоже кербой, если есть.