В конце файла main.cf (Postfix) добавил настройки для smtp:
smtpd_sasl_auth_enable = yes
smtpd_security_options = noanonymous
smtpd_client_restrictions =
permit_sasl_authenticated,
reject_plaintext_session
smtpd_sender_restrictions =
permit_sasl_authenticated,
reject_plaintext_session
После этого сервер начал отправлять письма с авторизацией для smtp, но перестал получать их. Полученные письма сервер не отклоняет, но по ящикам юзеров их не раскидывает.