достаточно некий уникальный session ID херачить в куку. только нужно написать некий алгоритм, чтобы 100% быть уверенным что сгенеренный SID уникален. если PHP, то например вот так -
да, а чекбокс "Remember me on this computer" просто напросто говорит скрипту, ставящему/обновляющему куку, что кука проэскпайрится в очень далеком будущем, году так в 2020...
кстати необязательно. все больше приложений последнее время хранят куки две недели\месяц. иногда так и написано "remember me for two weeks", и ИМХО это правильно
ну например, гугловская кука у меня в браузере обещает проэкспайрится 17.01.2038 22:14:07. а вообще, такие вещи можно делать настраиваемыми в профиле пользователя.