Т.е. в школьной геометрии «синус нуля равен нулю» озвучивать не стоит? Ибо получается, что это явно выходит за рамки школьной программы и просто рисунком на доске это не объяснить?

К слову, в школе вообще весьма многое даётся весьма небрежно, забивая на то, что выходит за рамки школьной программы. Из первого, что пришло на ум это площадь фигуры (в частном случае площадь квадрата) и подобие фигур. Что там, что там предел, только на это все забивают. Площадь по-хорошему вообще через меру Лебега определяется, вот только детям этого знать нет большой надобности. Это же не мешает изучать всё остальное, а ведь всё, начиная с теоремы Пифагора опирается именно на эти понятия и выводится исключительно из них.

затем определяют синус как отношение катета к гипотенузе

Это устаревшая версия. Обновите вашу математику.

Из первого, что пришло на ум это площадь фигуры (в частном случае площадь квадрата)

Что там, что там предел, только на это все забивают

Поясните?

То, как нам определяли площадь, содержит в себе пределы только при доказательствах площадей некоторых фигур. Но не в самом определении площади.

затем определяют синус как отношение катета к гипотенузе

Синус- это функция. Треугольник - это геометрическая фигура. По странному стечению обстоятельств, разные параметры геометрических фигур легко и удобно выражаются через тригонометрические функции.

+1

\forall x \in \mathbb{R} : \sin x := \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^n)}{(2n + 1)!} \cdot x^{2n + 1}

Это жестоко.

Куда проще (exp(ix)-exp(-ix))/(2i)

Поясните?
То, как нам определяли площадь, содержит в себе пределы только при доказательствах площадей некоторых фигур.

Элементарно. Вывод площади квадрата со стороной Х, уже там появляется предел. А из площади квадрата выводится площадь прямоугольника, а из неё треугольника и остальной компании, а обобщая, из неё же доказывается теорема Ньютона–Лейбница — это та, которая интеграл Римана с первообразной увязывает, а на этом как бы уже всё остальное держится. Это только когда-то потом даётся топология, непрерывность, метрические пространства и только в конечном счёте мера и интеграл Лебега.

Куда проще (exp(ix)-exp(-ix))/(2i)

Угу, решение дифуры d2f/dz2=-f на плоскости комплексных чисел. Косинус это чётное, синус нечётное. Ну вариант с рядами тоже прокатит, но не так эстетично что ли. А все эти e^пi = -1 уже как следствие, но ни в коем случае не определение.

По странному стечению обстоятельств функции для измерения треугольников работают для треугольников, да.

Вывод площади квадрата со стороной Х, уже там появляется предел.

Так это вывод, а не определение

Это только когда-то потом даётся топология, непрерывность, метрические пространства и только в конечном счёте мера и интеграл Лебега.

А вот с этим не согласен. Топологию можно вводить и без площадей.

Так это вывод, а не определение

ОК, дайте определение. Только учтите, что у нас по определению есть только единичный квадрат с площадью 1 кв.ед, а никакой гомотетии пока ещё не введено.

Топологию можно вводить и без площадей.

Разумеется, Вы не так поняли, из топологии вытекает непрерывность, ну и уже далее по списку.

Площадь фигуры - неотрицательная величина, обладающая рядом свойств:

1) квадрат 1x1 имеет площадь 1 2) равные фигуры имеют равные площади 3) площадь объединения непересекающихся фигур равна сумме площадей частей 4) Если одна фигура полностью умещается в другую, что ее площадь не больше площади второй.

Может какие свойства я и забыл, но вроде нет.

А то, что площадь увадрата равнв x^2, так это не определение площади квадрата, а теорема, в ходе доказательства к-й используются пределы.

По странному стечению обстоятельств, синус не только для треугольников работает. :)

Если одна фигура полностью умещается в другую, что ее площадь не больше площади второй.

Нет такого. Но не суть важно, всё остальное правильно.

Площадь фигуры - неотрицательная величина

Замечательно, и как это определение нам поможет находить эти самые площади? Хотя ладно, это уже демагогия пошла.

А то, что площадь увадрата равнв x^2, так это не определение площади квадрата, а теорема, в ходе доказательства к-й используются пределы.

Вы полностью правы.

Если одна фигура полностью умещается в другую, что ее площадь не больше площади второй.

Нет такого. Но не суть важно, всё остальное правильно.

Да, это выводится из остальных.

Да, это выводится из остальных.

Угу, как следствие из неотрицательности и аддитивности.

Замечательно, и как это определение нам поможет находить эти самые площади? Хотя ладно, это уже демагогия пошла.

Сперва находим площадь прямоугольника с целыми сторонам, потом с рациональными, а потом с вещественными. В этом месте используется предел.

Потом ищем площадь треугольника и всего остального.

Да, всё так и происходит. Только сначала обычно выводят S=a^2 для квадрата с целыми, рациональными и вещественными длинами сторон, а потом уже без всякой подобной содомии выводят остальные, начиная с прямоугольника.

Из того, что ты писал в начале, следовало, что ты считаешь, будто предел есть в определении площади.

ты считаешь, будто предел есть в определении площади

Некорректно выразился -> был неправ, признаю.

сперва в школе говорят, что

Называется «сказки для взрослых». Шоб сразу не стремались.

И сначала дают физические законы со всякими синусами, а векторную алгебру когда-нибудь потом, в вузе например.

Короче, власти скрывают :)