LINUX.ORG.RU
Форум — Talks  

Задачка по функану


0

0

Поможите, люди добрые ;)

Дан оператор следующего вида:

A: c0 -> c0
A(x_n) = x_{n+1} / n

(картинка для этого же самого: http://e-science.ru/1/mimetex.cgi?A(x_n)%20=%20\frac{x_{n+1}}{n})

Напомню, c0 - это множество сходящихся к нулю последовательностей в R или C (у нас C). Т.е. элементы множества - это _последовательности_.

Т.е., если наглядно, оператор переводит последовательность такого вида:

{x1, x2, ..., xn, ...}

(картинка: http://e-science.ru/1/mimetex.cgi?\{x_1,%20\,%20x_2,%20\,%20%20...,%20\,%20%20x_ n,%20\,%20...\})

в такую:

{x2, x3/2, x4/3, ..., x_{n+1} / n, ...}

(http://e-science.ru/1/mimetex.cgi?\{x_2,%20\,%20\frac{x_3}{2},%20\,%20\frac{x_4 }{3},%20\,%20...,%20\,%20\frac{x_{n+1}}{n},%20\,%20...\})

Нужно доказать компактность этого оператора (либо не-компактность).

По определению: оператор A, отображающий банахово пространство E в себя, называется _компактным_, если он каждое ограниченное множество переводит в предкомпактное.

Т.е. берём ограниченное множество из нашего c0, и действуем на него его оператором A. Должно получиться предкомпактное множество - это и нужно проверить.

Есть критерий предкомпактности в c0: Множество предкомпактно в c0 <=> оно равномерно ограничено и равностепенно непрерывно.

Равномерная ограниченность понятна - она в данном случае эквивалентна просто ограниченности.

Нужно показать равностепенную непрерывность.

На практике выводили следующий критерий для равностепенной непрерывности в c0 (доказательства не знаю, но вроде препод его не спрашивает :)):

Для любого эпсилон > 0 существует такое натуральное N, что для любых x из E, для любых натурельных n > N выполнено: |x_n| < эпсилон.

(http://e-science.ru/1/mimetex.cgi?\forall%20\epsilon%20%3E%200%20\:%20\exist%20 N%20\in%20\mathbb{N}%20\,%20:%20\,%20\forall%20x%20\in%20E%20\:%20\forall%20n%20 %3E%20N%20\:%20|x_n|%20%3C%20\epsilon)

Для нашего множества, на которое подействовали оператором A это будет выглядить так:

Для любого эпсилон > 0 существует такое натуральное N, что для любых x из E, для любых натурельных n > N выполнено: |x_{n+1} / n| < эпсилон.

Здесь E - это c0, x - элемент из c0 (т.е. последовательность), x_n - элементы последовательности x.

Вот на этом месте я застопорился :) Как доказывать равностепенную непрерывность?


Классная рисовалка формул )). По теме ниче не скажу, нас обделили фаном :(

ftor ★
()
Ответ на: комментарий от soomrack

> Было бы здорово, если бы Вы напомнили, что такое c0.

Я же напомнил в начале текста :)

Напомню, c0 - это множество сходящихся к нулю последовательностей в R или C (у нас C). Т.е. элементы множества - это _последовательности_.

Ivanz
() автор топика
Ответ на: комментарий от soomrack

> Здорово, под такое определение попадает и l1,l2... и много чего еще, норма как введена?

||x|| = sup |x_k| по всем k из N

Ivanz
() автор топика
Ответ на: комментарий от Ivanz

А теперь Вам Ваш вопрос не кажется очевидным?

Берем ограниченное множество. Пусть норма ограничена константой S. Тогда достаточно выбрать N>\frac{S}{\epsilon}.

soomrack ★★★★
()
Ответ на: комментарий от soomrack

> Вроде для этого пространства общепринятое обозначение l0

Ну не знаю... :) У нас курс преимущественно совпадает с книгой Колмогорова-Фомина, а там нету l0 :) Только l1, l2, lp. Может быть, ихний c0 и совпадает с l0, который вы знаете :)

Ivanz
() автор топика

То, на чем ты застопорился -- это разве не равносиль тому, что {|x_{n+1}/n|} -- сходится? То есть написано, фактически, определние предела.

Но {x_n} -- сходится. По-этому и {x_{n+1}} сходится, и {|x_{n+1}/n|} -- тоже сходится.

Вроде так, если все, что ты раньше вывел -- верно...

anonymous
()
Ответ на: комментарий от Ivanz

>Ну не знаю... :) У нас курс преимущественно совпадает с книгой Колмогорова-Фомина, а там нету l0 :) Только l1, l2, lp. Может быть, ихний c0 и совпадает с l0, который вы знаете

Да, это самая распространенная линейка функциональных пространств. l0,l1,...,ln,...l\infty

Надо бы заглянуть в Колмогорова-Фомина, странно. Как время-то летит. Названия новые придумывают... Зашибись.

soomrack ★★★★
()
Ответ на: комментарий от soomrack

>А теперь Вам Ваш вопрос не кажется очевидным?

>Берем ограниченное множество. Пусть норма ограничена константой S. Тогда достаточно выбрать N>\frac{S}{\epsilon}.

Вай, кажется так и есть :) Надо ещё повьёзжать.

Ну что вы хотите от студента, который не ходит на 100% лекций и на 70% практик, и решил сдать зачёт по матану? :))

Ivanz
() автор топика
Ответ на: комментарий от Ivanz

> Ну что вы хотите от студента, который не ходит на 100% лекций и на 70% практик, и решил сдать зачёт по матану? :))

лишь ответ на вопрос "в каком полку служить будете".

// wbr

klalafuda ★☆☆
()
Ответ на: комментарий от klalafuda

>лишь ответ на вопрос "в каком полку служить будете".

Тут могу дать совет: держись подальше о флота и десантников. Лучше всего когда припрет так что не отвертеться, самому выбрать часть и договориться о распределении туда.

soomrack ★★★★
()
Вы не можете добавлять комментарии в эту тему. Тема перемещена в архив.
Talks