Database file for 'core' does not exist

Это нормально. Ты ставишь систему на чистый диск, где разумеется никаких баз пакетов ещё нет. pacman предупреждает, что не нашёл их и создал новые, пустые.

Проблема в том, что потом (при установке grub и т.д.) pacman выдает ошибки, что некоторые пути не найдены

точнее:

не удалось получит информацию о файловой системе для /run/archiso/bootmnt: нет такого файла или каталога

возможно глупо, но попробуйте сначала
[code]mount /dev/sda1 /mnt[/code]
[code]mkdir -p /mnt/var/lib/pacman[/code]
а затем установить с помощью пакмана
[code]pacman -r /mnt -S base base-devel[/code]
все это делайте до chroot

Спасибо, всё прошло само собой.

Но появилась новая проблема: при установке Gnome 3 (pacman -Syu gnome) появилась ошибка:

error: python2: signature from «Stephane Gaudreault» is invalid

error: failed to commit transaction

Решение лежит где-то там: https://wiki.archlinux.org/index.php/Pacman-key

попробуйте так

pacman-key init

Может очень долго выполнятся, до двух часов. Барабаньте по клаве, помогает.
затем

pacman-key populate archlinux
с эитм все быстро :)