Not handling exceptions in background threads

Не нравятся глобальные переменные — выдели треду не глобальную, персональную переменную.

Можно использовать std::promise самому и писать/брать из него исключение, или вызывать поток через std::async, который уже возвращает std::promise и кладёт туда исключение, если оно произошло:

promise = std::async(std::launch::async, &f);

std::exception_ptr

если это произошло, как быть?

Это не может произойти в принципе, пока ты сам не наворотишь механизм для этого.

объяснение как работают исключения в многопоточной среде и как стек разворачивается при этом

Тут особо и объяснять нечего: с точки зрения обработки исключений совершенно не важно сколько у тебя потоков. У каждого потока свой независимый стек, и разворачивается он всегда одинаково. Если ты в потоке не поймаешь исключение, вызовется самый обычный terminate().

Подскажите, как правильно работать с исключениями в «дочерних» нитях.

Как тебе удобно так и работай. Если у тебя, например, поток складывает что-то в очередь, можешь предусмотреть в этой очереди хранение исключений наряду с результатом работы. На принимающей стороне можешь работать с этими исключениями напрямую, а можешь их перевыкидывать. Можешь сделать для исключений отдельную очередь. Можешь не делать. Можешь использовать промисы. Можешь не использовать. Можешь вообще исключения полностью обрабатывать в треде и никуда не передавать.