Исправление
dikiy,
(текущая версия)
:
Ну ни у того, ни у другого нет про преобразование Фурье. Помимо этого господин Смоленцев упоминает пространства L1(R) и L2(R), о которых я или ничего не помню (вероятнее всего), или ничего не знаю из-за отсутствия упоминания о них в курсе.
линейную алгебру помнишь? помнишь как раскладывается вектор s по ортонормированному базису? Проекции на каждый вектор-координату базиса - это просто скалярное произведение <s,базис-вектор> так и получишь координаты вектора в данном базисе.
Тут то же самое. Только у тебя не пространство обычных векторов, а пространство функций. А в качестве единичных векторов выступают функции exp(inx) (а синусы и косинусы вылазят лишь из формулы Эйлера, и даже для правильного восприятия дела мешают).
То есть по-аналогии: У тебя есть, допустим 100-мерное векторное пространство. В обычном базисе единичные вектора - это (1,0,0,....), (0,1,0,....),(0,0,1,....) и т.д.
А в пространстве функций вместо них исполняют роль:
exp(ix), exp(2ix), exp(3ix) и т.д.
Единственная существенная разница, что пространство функций бесконечномерно. То есть таких единичных векторов вида exp(inx) бесконечно много.
А вместо скалярного произведения выступает интеграл:
например
<f(x),exp(ix)> = int(f(x),Conjugate(exp(ix)),x=-pi..pi)
Интеграл - это в нектором роде бесконечная сумма по компонентам функции-вектора. То есть если ты представишь функция f(x) как таблично определенную: то есть каждому значению x соответствует значение y. И точно так же представишь функцию exp(ix), то скалярное произведение - это просто сумма по произведениям компонент, все как и в обычной геометрии. Ну а такая бесконечная сумма и есть интеграл :)
вот и получаешь таким образом с помощью интеграла коэффициенты разложения по базисным векторам пространства L²[-pi; pi]. Это пространство L² - пространство всех интегрируемых по Лебегу функций, определенных на промежутке [-pi; pi]. Если не хочешь париться с Лебегом, можешь считать, что это пространство всех обычных интегрируемых функций на [-pi; pi]. Все такие функции входят в L² (но припоминай, что кроме них туда так же входят и более странные функции :)
Получилась простыня, но я надеюсь, что она тебе поможет.
Исходная версия
dikiy,
:
Ну ни у того, ни у другого нет про преобразование Фурье. Помимо этого господин Смоленцев упоминает пространства L1(R) и L2(R), о которых я или ничего не помню (вероятнее всего), или ничего не знаю из-за отсутствия упоминания о них в курсе.
линейную алгебру помнишь? помнишь как раскладывается вектор s по ортонормированному базису? Проекции на каждый вектор-координату базиса - это просто скалярное произведение <s,базис-вектор> так и получишь координаты вектора в данном базисе.
Тут то же самое. Только у тебя не пространство обычных векторов, а пространство функций. А в качестве единичных векторов выступают функции exp(inx) (а синусы и косинусы вылазят лишь из формулы Эйлера, и даже для правильного восприятия дела мешают).
То есть по-аналогии: У тебя есть, допустим 100-мерное векторное пространство. В обычном базисе единичные вектора - это (1,0,0,....), (0,1,0,....),(0,0,1,....) и т.д.
А в пространстве функций вместо них исполняют роль:
exp(ix), exp(2ix), exp(3ix) и т.д.
Единственная существенная разница, что пространство функций бесконечномерно. То есть таких единичных векторов вида exp(inx) бесконечно много.
А вместо скалярного произведения выступает интеграл:
например
<f(x),exp(ix)> = int(f(x),Conjugate(exp(ix),x=-pi..pi)
Интеграл - это в нектором роде бесконечная сумма по компонентам функции-вектора. То есть если ты представишь функция f(x) как таблично определенную: то есть каждому значению x соответствует значение y. И точно так же представишь функцию exp(ix), то скалярное произведение - это просто сумма по произведениям компонент, все как и в обычной геометрии. Ну а такая бесконечная сумма и есть интеграл :)
вот и получаешь таким образом с помощью интеграла коэффициенты разложения по базисным векторам пространства L²[-pi; pi]. Это пространство L² - пространство всех интегрируемых по Лебегу функций, определенных на промежутке [-pi; pi]. Если не хочешь париться с Лебегом, можешь считать, что это пространство всех обычных интегрируемых функций на [-pi; pi]. Все такие функции входят в L² (но припоминай, что кроме них туда так же входят и более странные функции :)
Получилась простыня, но я надеюсь, что она тебе поможет.