История изменений

Дело ещё в том, что самым любимым векторным пространством является R^n.

R^n - это не абстрактное векторное пространство, а одно, очень конкретное пространство кортежей из n вещественных чисел.

В нём, по определению есть канонический базис: (1,0,..0)..(0,..0,1). Здесь это не _координаты_ точек, это _сами_точки_.

В каноническом базисе легко вычислить _координаты_ точки: Для любой точки x=(x_1,..x_n) её координата в каноническом базисе есть (x_1,..x_n).

Соответственно когда мы рассматриваем операторы на R^n, мы часто говорим об операторе и его матрице как об одном и том же. Но это работает только потому что мы всегда в фоне подразумеваем привязку к каноническому базису.

Это с одной стороны сильно упрощает жизнь, потому как можно сразу начинать что-то считать и т.п., а с другой - сильно усложняет переход к пространствам, где канонического базиса никогда не было. Потому что все «привычные» рассуждения надо теперь перепродумывать, и вытаскивать наружу неявную зависимость на базис.

Дело ещё в том, что самым любимым векторным пространством является R^n.

R^n - это не абстрактное векторное пространство, а одно, очень конкретное пространство кортежей из n вещественных чисел.

В нём, по определению есть канонический базис: (1,0,..0)..(0,..0,1). Здесь это не _координаты_ точек, это _сами_точки_.

В каноническом базисе легко вычислить _координаты_ точки: Для любой точки x=(x_1,..x_n) её координата в каноническом базисе есть (x_1,..x_n).

Соответственно когда мы рассматриваем операторы на R^n, мы часто говорим об операторе и его матрице как об одном и том же. Но это работает только потому что мы всегда в фоне подразумеваем привязку к каноническому базису.

Это с одной стороны сильно упрощает жизнь, потому как можно сразу начинать что-то считать и т.п., а с другой - сильно усложняет переход к пространствам, где какнонического базиса никогда не было. Потому что все «привычные» рассуждения надо теперь перепродумывать, и вытаскивать наружу неявную зависимость на базис.