История изменений
Исправление AntonI, (текущая версия) :
Ок, я выложу свое решение. Жалко конечно что решило всего два человека - задача то простая, не выходящая за рамки средней школы.
Итак, мы знаем что баллистическая траектория в космосе это на самом деле эллипс (еще бывают параболы и гиперболы, но так с полюса на полюс не попасть), причем Земля будет в одном из фокусов эллипса. Пусть полуоси эллипса a и b, a>=b, ось земли вертикальна, R - радиус Земли, положение центра земли это фокус элиппса F. Тогда каноническое уравнение эллипса
2 2 ________
x y / 2 2
-- + -- = 1, |F| = V a - b (1)
2 2
a b
подставляя в него координаты обоих полюсов получаем два одинаковых уравнения связывающих a и b
2 2 2 2 2 2
F R a - b R R b b
-- + -- = 1 --> ------- + -- = 1 --> - = - --> a = -- (2)
2 2 2 2 b a R
a b a b
Мы получили целое семейство траекторий с разными b, если b и a связаны соотношением (2) все они проходят через оба полюса.
Дальше нам нужен угол вылета. Выражая из (1) y и дифференцируя его по x (кому не лень гуглить можно просто найти в вики уравнение касательной для эллипса) получаем
b x
y' = - --------------
________
/ 2 2
a V a - x
подставляя в него из (2) значение a = b^2/R на полюсе (и разумеется x=F) получаем в итоге
_________
/ 2 2
/ b - R
|y'| = / ---------
/ 2
V b
При b = R (круговая орбита) |y’|=0, то есть угол вылета равен нулю (напомню, что |y’| это производная, т.е. тангенс угла наклона вылета рыбов).
Если мы начинаем увеличивать b угол вылета растет, но до каких пор? При очень больших b членом -R^2 в числителе можно пренебречь и |y’|->1, то есть угол вылета стремится к 45 градусам.
Давайте найдем скорость вылета - что бы попасть на нужную траекторию нужен не только правильный угол вылета, но и правильная скорость. Тут уже я таки полез в википедию, выводить такие вещи было лень а правильного выражения я не помню разумеется. Википедия говорит, что скорость на эллиптической орбите
__________________
/ 2 1
v = / MG ( --- - --- )
V r a
где r — расстояние между телами, MG это гравитационный параметр (масса Земли на всемирную гравитационную постоянную).
В случае круговой орбиты a = r = R и мы получаем первую космическую скорость v1 = 7.8 км/c. В случае угла 45 град r=R но a это очень большое число, 1/a=0 и мы получаем скорость в sqrt(2) раз больше.
PPP328, интересно глянуть как считали Вы.
Исправление AntonI, :
Ок, я выложу свое решение. Жалко конечно что решило всего два человека - задача то простая, не выходящая за рамки средней школы.
Итак, мы знаем что баллистическая траектория в космосе это на самом деле эллипс (еще бывают параболы и гиперболы, но так с полюса на полюс не попасть), причем Земля будет в одном из фокусов эллипса. Пусть полуоси эллипса a и b, a>=b, ось земли вертикальна, R - радиус Земли, положение центра земли это фокус элиппса F. Тогда каноническое уравнение эллипса
2 2 ________
x y / 2 2
-- + -- = 1, |F| = V a - b (1)
2 2
a b
подставляя в него координаты обоих полюсов получаем два одинаковых уравнения связывающих a и b
2 2 2 2 2 2
F R a - b R R b b
-- + -- = 1 --> ------- + -- = 1 --> - = - --> a = -- (2)
2 2 2 2 b a R
a b a b
Мы получили целое семейство траекторий с разными b, если b и a связаны соотношением (2) все они проходят через оба полюса.
Дальше нам нужен угол вылета. Выражая из (1) y и дифференцируя его по x (кому не лень гуглить можно просто найти в вики уравнение касательной для эллипса) получаем
b x
y' = - --------------
________
/ 2 2
a V a - x
подставляя в него из (2) значение a = b^2/R на полюсе (и разумеется x=R) получаем в итоге
_________
/ 2 2
/ b - R
|y'| = / ---------
/ 2
V b
При b = R (круговая орбита) |y’|=0, то есть угол вылета равен нулю (напомню, что |y’| это производная, т.е. тангенс угла наклона вылета рыбов).
Если мы начинаем увеличивать b угол вылета растет, но до каких пор? При очень больших b членом -R^2 в числителе можно пренебречь и |y’|->1, то есть угол вылета стремится к 45 градусам.
Давайте найдем скорость вылета - что бы попасть на нужную траекторию нужен не только правильный угол вылета, но и правильная скорость. Тут уже я таки полез в википедию, выводить такие вещи было лень а правильного выражения я не помню разумеется. Википедия говорит, что скорость на эллиптической орбите
__________________
/ 2 1
v = / MG ( --- - --- )
V r a
где r — расстояние между телами, MG это гравитационный параметр (масса Земли на всемирную гравитационную постоянную).
В случае круговой орбиты a = r = R и мы получаем первую космическую скорость v1 = 7.8 км/c. В случае угла 45 град r=R но a это очень большое число, 1/a=0 и мы получаем скорость в sqrt(2) раз больше.
PPP328, интересно глянуть как считали Вы.
Исправление AntonI, :
Ок, я выложу свое решение. Жалко конечно что решило всего два человека - задача то простая, не выходящая за рамки средней школы.
Итак, мы знаем что баллистическая траектория в космосе это на самом деле эллипс (еще бывают параболы и гиперболы, но так с полюса на полюс не попасть), причем Земля будет в одном из фокусов эллипса. Пусть полуоси эллипса a и b, a>=b, ось земли вертикальна, R - радиус Земли, положение центра земли это фокус элиппса F. Тогда каноническое уравнение эллипса
2 2 ________
x y / 2 2
-- + -- = 1, |F| = V a - b (1)
2 2
a b
подставляя в него координаты обоих полюсов получаем два одинаковых уравнения связывающих a и b
2 2 2 2 2 2
F R a - b R R b b
-- + -- = 1 --> ------- + -- = 1 --> - = - --> a = -- (2)
2 2 2 2 b a R
a b a b
Мы получили целое семейство траекторий с разными b, если b и a связаны соотношением (2) все они проходят через оба полюса.
Дальше нам нужен угол вылета. Выражая из (1) y и дифференцируя его по x (кому не лень гуглить можно просто найти в вики уравнение касательной для эллипса) получаем
b x
y' = - --------------
________
/ 2 2
b V a - x
подставляя в него из (2) значение a = b^2/R на полюсе (и разумеется x=R) получаем в итоге
_________
/ 2 2
/ b - R
|y'| = / ---------
/ 2
V b
При b = R (круговая орбита) |y’|=0, то есть угол вылета равен нулю (напомню, что |y’| это производная, т.е. тангенс угла наклона вылета рыбов).
Если мы начинаем увеличивать b угол вылета растет, но до каких пор? При очень больших b членом -R^2 в числителе можно пренебречь и |y’|->1, то есть угол вылета стремится к 45 градусам.
Давайте найдем скорость вылета - что бы попасть на нужную траекторию нужен не только правильный угол вылета, но и правильная скорость. Тут уже я таки полез в википедию, выводить такие вещи было лень а правильного выражения я не помню разумеется. Википедия говорит, что скорость на эллиптической орбите
__________________
/ 2 1
v = / MG ( --- - --- )
V r a
где r — расстояние между телами, MG это гравитационный параметр (масса Земли на всемирную гравитационную постоянную).
В случае круговой орбиты a = r = R и мы получаем первую космическую скорость v1 = 7.8 км/c. В случае угла 45 град r=R но a это очень большое число, 1/a=0 и мы получаем скорость в sqrt(2) раз больше.
PPP328, интересно глянуть как считали Вы.
Исходная версия AntonI, :
Ок, я выложу свое решение. Жалко конечно что решило всего два человека - задача то простая, не выходящая за рамки средней школы.
Итак, мы знаем что баллистическая траектория в космосе это на самом деле эллипс (еще бывают параболы и гиперболы, но так с полюса на полюс не попасть), причем Земля будет в одном из фокусов эллипса. Пусть полуоси эллипса a и b, a>=b, ось земли вертикальна, R - радиус Земли, положение центра земли это фокус элиппса F. Тогда каноническое уравнение эллипса
2 2 ________
x y / 2 2
-- + -- = 1, |F| = V a - b (1)
2 2
a b
подставляя в него координаты обоих полюсов получаем два одинаковых уравнения связывающих a и b
2 2 2 2 2 2
F R a - b R R b b
-- + -- = 1 --> ------- + -- = 1 --> - = - --> a = -- (2)
2 2 2 2 b a R
a b a b
Мы получили целое семейство траекторий с разными b, если b и a связаны соотношением (2) все они проходят через оба полюса.
Дальше нам нужен угол вылета. Выражая из (1) y и дифференцируя его по x (кому не лень гуглить можно просто найти в вики уравнение касательной для эллипса) получаем
b x
y' = - --------------
________
/ 2 2
b V a - x
подставляя в него из (2) значение a = b^2/R на полюсе получаем в итоге
_________
/ 2 2
/ b - R
|y'| = / ---------
/ 2
V b
При b = R (круговая орбита) |y’|=0, то есть угол вылета равен нулю (напомню, что |y’| это производная, т.е. тангенс угла наклона вылета рыбов).
Если мы начинаем увеличивать b угол вылета растет, но до каких пор? При очень больших b членом -R^2 в числителе можно пренебречь и |y’|->1, то есть угол вылета стремится к 45 градусам.
Давайте найдем скорость вылета - что бы попасть на нужную траекторию нужен не только правильный угол вылета, но и правильная скорость. Тут уже я таки полез в википедию, выводить такие вещи было лень а правильного выражения я не помню разумеется. Википедия говорит, что скорость на эллиптической орбите
__________________
/ 2 1
v = / MG ( --- - --- )
V r a
где r — расстояние между телами, MG это гравитационный параметр (масса Земли на всемирную гравитационную постоянную).
В случае круговой орбиты a = r = R и мы получаем первую космическую скорость v1 = 7.8 км/c. В случае угла 45 град r=R но a это очень большое число, 1/a=0 и мы получаем скорость в sqrt(2) раз больше.
PPP328, интересно глянуть как считали Вы.