я вообще не студент

Мог бы и не писать, все и так знают, что на ЛОРе одни школьники

>не должны меняться значения первой и второй производной

То есть на закрытом участке? В обоих точках (их eps-окрестностях) производная тоже не меняется?

Проще всего - прямая ;)

f(x) = (y_2-y_1) \sin \frac {\pi \cdot x} {4 \cdot x_0} + y_1

вроде подойдут нечетные полиномы Лежандра: растянуть и подвинуть, соли по вкусу.

СТОП.

Не должны меняться значения или ЗНАКИ производных?

Знаки.

На рассматриваемом участке не должны меняться значения первой и второй производной (не должно быть экстремумов и перегибов).

На рассматриваемом участке не должны меняться знаки первой и второй производной.

Так правильно.

Прямую тоже сделал, упомянуть забыл.

опечатка(

Спасибо, и как самому в голову не пришло синусоиду сделать.

почти любая функция же подойдет

дуга окружности, синусоида, полином с кратным корнем

Только так: (y2−y1)∙sin(π∙x/(2∙x0))+y1

Правда, почти то же самое, что и квадратичная.

Если я не совсем забыл матанал, таких кривых может быть бесконечное множество, начиная от прямой, окружности, синусоиды, полинома,...

Да, а мне нужно несколько каких-нибудь случайных и описываемых человеческой формулой.

взять любую приличную монотонную функцию g, подвинуть/растянуть, домножить на (x-x0) и добавить константу

истинно так. Поскольку высчитывать коэффициенты на самом деле лень (и в итоге всё равно ошибаешься, лол), предложу ещё заготовку для функции — e^(x0-x) + x.

Сделал кубическую ещё с помощью Maxima.

            - 2 y2 + 2 y1 + k x2        - 3 y2 + 3 y1 + 2 k x2
(%o1) [[a = --------------------, b = - ----------------------, c = k, d = y1]]
                      3                            2
                    x2                           x2

a*x^3 + b*x^2 + cx + d

k отвечает за угол вхождения (должно быть <2)

f(x)=(y2-y1)*sin(x*pi/(2*x0))+y1

f(x)=A*exp(-(x-b)^2)+C

Tysjachi ix.

>>вроде подойдут нечетные полиномы Лежандра: растянуть и подвинуть, соли по вкусу.

Херню сказал. Растянуть и подвинуть - сгодится любая функция, имеющая хотя бы один экстремум.

> Растянуть и подвинуть

у этих, емнип, экстремумы известны => просто подгонять. По существу есть что возразить?

> экстремумы известны

хм... не уверен, если нет, то таки «херню»)

Это ж прямая. Не?

Сорри - ответил, потом стал читать тему... Вообще понял сначало так что нужна любая одна функция такого плана.

>>у этих, емнип, экстремумы известны => просто подгонять. По существу есть что возразить?

Я по существу и возразил. Кстати, формально P1(x) не годится в общем случае ибо прямая.

экстремумы известны => просто подгонять.

Известны так же, как и у любых других функций, заданных аналитически. Исходной особой простоты в расположении экстремумов не наблюдается. Они вообще для другого создавались.

f(x)=y1+(y2-y1)*sin((x*pi)/(2*x0))

как то так...

не понял про прямую. уравнение прямой f(x)=kx+C. f'(x)=k, т.е. для произвольных y1 и y2 условие «причём во второй его производная должна равняться нулю.» выполнятся не будет

верно, просто она тоже было нужна для моей задачи :)