Всегда ли карта PCIe 3.0 будет работать с материнской платой на которой PCIe 2.0?

Найди на амазоне/али адептер/конвертер — они существуют и бывают самых разных форм и расцветок.
Про совместимость различных версий PCIe напиши в поддержку материнской платы, если вики всяким не доверяешь — они для ответов на такие вопросы и работают (тут отпиши чё они сказали).

они существуют

нет тому доказательств.

вот например:
http://www.espada-tech.ru/pr_-42043.shtml
чётко говорится: NGFF SSD с ключем M работает через PCI-E 4X 3.0

И всё! Никаких там PCIe x4 2.0

У людей работает, по стандарту должна. Что у тебя за говно-матплата.

Что надо сделать, чтобы модули M.2 NVMe подключить к материнской плате без M.2 разъемов и только с PCIe 2.0 (без 3.0).

Во-первых, не покупать серверные адаптеры, если у тебя плата не из списка совместимых. Во-вторых, надо понимать, что загрузка с NVMe тебе вряд ли светит.

не покупать

Ок, а какую модель покупать? Позитивное мышление?

Загугли отзывы владельцев твоей материнки какие работают.

Биос обновлял кстати?

Зачем? Задача BIOS загрузить Linux с обычного диска через SATA. А дальше уже Linux должен найти NVMe диски сам.

Загуглил - не нашел.

Вдруг виснуть перестанет.

Ещё скорее всего твой адаптер можно переделать чтоб не вешал систему и работал, там же нифига деталей нет.

В смысле, на твоём есть, но вообще нафиг не нужны.