Исправление soomrack, (текущая версия) :
Число называется бесконечно малым, если его модуль меньше любого положительного числа, могущего быть заданным.
Этот самый текст уже является заданием числа, значит число меньше самого себя — следовательно в упорядоченном множестве такого числа не существует.
++
Но по-видимому имелось ввиду расширение множества вещественных чисел R, с сохранением полной упорядоченности. В этом расширенном множестве число будет называться бесконечно малым, если оно будет меньше любого наперед заданого числа из R.
Короче нестандартный анализ. Очень грубо и на пальцах можно провести аналогию с расширением Q->R: делается расширение R->\hat R, т.е. последовательности обзываются числами. Сравнение таких чисел делается как сравнение пределов последовательностей, обычное число r представляется в виде последовательности (r,r,r,r,...). В такой расширенной прямой dt будет иметь очевидный смысл, и можно будет свободно делить на dt, сокращать и т.п. В итоге можно свести существенную часть работы к алгебраическим действиям, этакая алгебраизация математического анализа.
Интересно, а про ультрафильтры в лекциях что-то планируется? Доказательство существования нетривиального ультрафильтра, например?
Исходная версия soomrack, :
Число называется бесконечно малым, если его модуль меньше любого положительного числа, могущего быть заданным.
Этот самый текст уже является заданием числа, значит число меньше самого себя — следовательно в упорядоченном множестве такого числа не существует.
++
Но по-видимому имелось ввиду расширение множества вещественных чисел R, с сохранением полной упорядоченности. В этом расширенном множестве число будет называться бесконечно малым, если оно будет меньше любого наперед заданого числа из R.
Короче нестандартный анализ. Очень грубо и на пальцах можно провести аналогию с расширением Q->R: делается расширение R->\hat R, т.е. последовательности обзываются числами. Сравнение таких чисел делается как сравнение последовательностей (лексикографический порядок), обычное число r представляется в виде последовательности (r,0,0,0,...). В такой расширенной прямой dt будет иметь очевидный смысл, и можно будет свободно делить на dt, сокращать и т.п. В итоге можно свести существенную часть работы к алгебраическим действиям, этакая алгебраизация математического анализа.
Интересно, а про ультрафильтры в лекциях что-то планируется? Доказательство существования нетривиального ультрафильтра, например?