Права доступа

Права на удаление чего-либо это право на запись в каталог, там где это лежит. То есть нужно менять права на каталог, в котором находится TEST.

Если вы дадите на TEST права o=rwx, то все смогут создавать там файлы и удалять там файлы других. Но нельзя будет удалять файлы в подкаталогах TEST другого пользователя.

Вы не совсем поняли суть вопроса. Нужно чтобы в директорию TEST все могли писать и удалять что угодно, но не могли удалить саму директорию TEST.

Если человеку сказать, что он чего-то не понял, это может обидеть человека.
Особенно, если он-то как раз понял!
Вам ответили: чтобы нельзя было удалить саму директорию TEST, достаточно у директории, в которой находится TEST, задать режим «только для чтения».

Не собирался никого обижать. Извините, если это так показалось, но то что Вы говорите тоже не работает. Создал каталог TEST. Дал права 444. Но в него, после этого, даже зайти не могу под обычным пользователем.

Разумеется, для входа в каталог надо иметь права на выполнение, а тут только на чтение.

Точнее не для входа, а для чтения списка файлов в нем. Нужно задать на каталог права 555.

Как раз для списка файлов нужен r, а для всего остального x

Признаю, был не прав :) Но все равно ТСу на каталоге нужны оба, т.е. права должны быть 555.

Нужно задать права доступа так, чтобы никто не смог удалить корневой каталог TEST, но смог в него додавать и удалять любые папки и файлы.

Пара вариантов, как минимум:

# mkdir test; chmod 777 test; chattr +i test/..
# mkdir test; chmod 777 test; chown 0:0 test/..; chmod 755 test/..

Менять права нужно

у директории, в которой находится TEST,

Так как вы не указали где находится TEST, то как-то так:

cd TEST && chmod 444 ../../