[матан][проблемы, архимед?]поясните парадокс

Пределы уже проходили?

r_asian (23.01.2011 2:54:48)

Кстати, таким же макаром можно посрамить и Пифагора, представляя гипотенузу "ступеньками" и устремив высоту "ступеньки" к нулю

trollface.svg

r_asian (23.01.2011 2:58:52)

Для развлечения на эту тему. Там адЪ и угар.

r_asian (23.01.2011 3:06:04)

О сколько нам открытий чудных готовит просветленья дух!
http://img456.imageshack.us/img456/6618/021052005202018540001ss0do.jpg

MrHouse (23.01.2011 3:07:48)

гуманитарий? ты ещё диагональ прямоугольника «лесенкой» посчитай…

arsi (23.01.2011 3:11:44)

Ты упал? Лесенкой периметр не посчитаешь. Эта лесенка не сходится к длине окружности.

Площадь лесенкой - можно, по теореме "о двух милиционерах".
Площадь внутренней и внешней лесенки сходятся к одному числу, площадь круга на каждом шаге между ними. Значит площадь равна пределу площади любой из этих лесенок.

С периметром такой фокус не пройдёт просто потому что периметр внутренней лесенки может быть больше периметра круга.

С чего ты решил что он сходится к длине окружности?

ChALkeR (23.01.2011 3:34:42)

Матчасть: http://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_о_двух_милиционерах

ChALkeR (23.01.2011 3:36:09)

Кстати, знающие люди, просветите: она что, теперь будет теоремой о двух полицейских?

ChALkeR (23.01.2011 3:37:24)

Топикстартер, ты в каком классе?

ChALkeR (23.01.2011 3:40:57)

>Я знаю, что тут в общем-то речь идет не о вычислении π, а о чём-то другом.

О том, что даже если последовательность кривых сходиться равномерно к данной кривой, последовательность их длин вообще говоря не обязана стремиться к длине придельной кривой. Первокурсники, начинающий изучать матан, часто на этом попадается.

ival (23.01.2011 7:10:23)

Это из серии разрезания квадрата и составления из него треугольника - "Куда подевался сантиметр площади?".

Quasar (23.01.2011 7:38:09)

И никто не заметил, что там по их логике пи должно получиться равным двум, а не четырем.

sqrt(a²) ≠ a
sqrt(a²) = |a|

Математический софизм же.

LongLiveUbuntu (23.01.2011 10:35:52)

Спасибо, капитан (:

pevzi (23.01.2011 10:58:26)

> И никто не заметил, что там по их логике пи должно получиться равным двум, а не четырем.

Щито?

pevzi (23.01.2011 10:58:43)

Когда извлекали корень, потеряли знак. 5-9/2 >0, а 4-9/2 < 0.

Alan_Steel (23.01.2011 11:05:58)

Периметр многоугольника всегда равен 4, а вот площадь его стремится к площади круга. Никакого парадокса нет.

Alan_Steel (23.01.2011 11:07:24)

Трехмерной аналогией "противоречия" является сапог Шварца.

mclaudt (23.01.2011 11:10:08)

Не кури больше этого. Пи - это отношение длины окружности к её диаметру.

r_asian (23.01.2011 11:21:57)

А в чём проблема? Ну да, длина не является непрерывной функцией кривой. Она только полунепрерывна, т.е. длина предела последовательности кривых не превосходит (но не обязательно равна) пределу длин этих кривых.

Miguel (23.01.2011 12:56:08)

>сходиться >придельной

а старшекурсникам неплохо ещё и русский языка уметь

memnek (23.01.2011 15:03:34)

Кто понял жизнь тот бросил школу, так что ни в каком. Глупый жиртрест, вчитывайся в мой пост до просветления. За теорему о двух милиционерах спасибо.

oguretz (23.01.2011 15:10:57)

многоугольника с прямыми углами, во. Именно этот вывод я не мог сформулировать вчера ночью.

oguretz (23.01.2011 15:12:00)

Точняк, спасибо.

oguretz (23.01.2011 15:13:19)

Совершенно очевидно, что это проблемы Геометрии как таковой. Еще Лобачевский в своей геометрии исходя из того, что через точку не лежащей на прямой можно провести бесконечное множество прямых параллельных исходной.

Откинув аксиому о паралельных прямых, он получил, что сумма углов в треугольнике всегда МЕНЬШЕ 180 градусов. Более того площадь треугольников (любых) это число конечное и многое другое.

Это все происходит сплошь и рядом. Математики против того, что Пи равно 4-м. Но они против того, что Пи равно 3.14 (посчитайте сами |Pi-3,14159|<|Pi-3,14| )

Именно поэтому квадратура круга не существует. Просто чем точнее мы вписываем квадратики тем больше появляется ошибок, а в сумме они опять дают несоответствие.

Поэтому до сих пор неизвестно какая геометрия ближе к нашему миру. Может быть и так, что они верны обе. При расчете малых расстояний на земле, она ведет себя как плоскость, а больших как шар.

demmsnt (23.01.2011 15:28:59)

>Матчасть: http://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_о_двух_милиционерах

У нас она называлась Теорема о Среднем. Вообще штука использующаяся почти в 80% доказательств. Так, же как теорема о пределе непрерывной функции в отрезке.

demmsnt (23.01.2011 15:39:41)

>Совершенно очевидно, что это проблемы Геометрии как таковой.

Совершенно очевидно, что это проблема в голове некоторых.

dikiy (23.01.2011 15:45:58)

http://qntm.org/trollpi

> Откинув аксиому о паралельных прямых, он получил, что сумма углов в треугольнике всегда МЕНЬШЕ 180 градусов.

Школу прогуливать нехорошо.

Zodd (23.01.2011 17:58:07)

> http://qntm.org/trollpi

Читать лень, можно вкратце?

Zodd (23.01.2011 18:00:59)

Однако повеселило =)

Siado (23.01.2011 18:48:18)

>И никто не заметил, что там по их логике пи должно получиться равным двум, а не четырем.

Кое кто не заметил, что периметр там 4, а диаметр 1.

Siado (23.01.2011 19:13:32)

>So why is Troll Pi wrong? Because the assertion being made, "the limit of the lengths of a series of curves is the length of the limit curve of that series", is false.

Собственно это доказано для более простого примера (с теоремой Пифагора) с помощью вычисления пределов, формулы длины кривой и другого матана.

При таком делении ломаная всегда остаётся ломаной, её длина не приближается к длине кривой окружности.
Это похоже на разбиение отрезка на части: на сколько бы частей мы не разбили отрезок, суммарная длина этих частей останется равной длине отрезка. (В данном случае можно увидеть, что суммарная длина вертикальных и горизонтальных кусочков, из которых состоит ломаная, будет постоянной - по сути здесь просто рассматривается более мелкое разбиение отрезка постоянной длины на части).

Длина кривой вычисляется по-другому:
На кривой отмечают точки. Соседние точки соединяют линиями. В результате получается ломаная. При устремлении диаметра разбиения к нулю, длина этой ломаной будет стремиться к длине кривой (диаметр разбиения - максимальное расстояние среди расстояний между двумя соседними точками ломаной).

Byron (24.01.2011 9:19:04)

А у вписанной "лесенки" периметр равен 2\sqrt2, среднее арифметическое между ними = 3.41 - уже некоторое приближение к \pi :)

Eddy_Em (24.01.2011 9:45:25)

>Кстати, знающие люди, просветите: она что, теперь будет теоремой о двух полицейских?

Она у нас, ЕМНИП, называлась теоремой о зажатой функции.

Dimanc (24.01.2011 10:10:36)

>Совершенно очевидно, что это проблема в голове некоторых.

вы хотите сказать, что в нашем мире существуют прямые? Ну, ну.... Покажите

demmsnt (24.01.2011 10:52:16)

>Школу прогуливать нехорошо.

Ну вы пойдите поучитесь сами сначала. В Евклидовой геометрии сумма углов равна 180, в геометрии Лобачевского всегда меньше 180, а в Римановой всегда больше.

И не стыдно вам показывать свою безграмотность?

demmsnt (24.01.2011 10:57:25)

>>Совершенно очевидно, что это проблема в голове некоторых.

>вы хотите сказать, что в нашем мире существуют прямые? Ну, ну.... Покажите

приплетать в данному топику геометрию Лобачевского или Римана говорит о том, что "слышал звон, да не знаю где он".

Еще б метрику Минковского вспомнил, лол.

dikiy (24.01.2011 11:09:53)

вот я думаю, полученная прямая вообще спрямляемая ли? Хотя длина у нее есть

namezys (24.01.2011 11:36:13)

Вспомни фракталы. Та же песня. Или простейший случай - эллипс (эллиптические интегралы, ага).

LongLiveUbuntu (24.01.2011 11:48:16)

Смотря что считать критерием "прямизны" :)

Eddy_Em (24.01.2011 11:48:43)

> Вспомни фракталы. Та же песня. Или простейший случай - эллипс (эллиптические интегралы, ага).

Не совсем. У фракталов длина не вычисляемая. А тут длина такой кривой всегда одна и так же. Точнее это ломаная.

Вот только в пределе она не переходит в кривую

namezys (24.01.2011 11:51:55)

Я ж о чем и толкую: есть неспрямляемые кривые, а есть - математические софизмы как здесь.

LongLiveUbuntu (24.01.2011 11:55:24)

Да это понятно... И понятно, почему. Но как бы это попроще объяснить?

namezys (24.01.2011 11:59:19)

>>вот я думаю, полученная прямая вообще спрямляемая ли? Хотя длина у нее есть

А никакой "полученной прямой" и нет, есть последовательность спрямляемых кривых.

mclaudt (24.01.2011 12:05:48)

>>Вспомни фракталы. Та же песня. Или простейший случай - эллипс (эллиптические интегралы, ага).

Что "фракталы"? Они тут вообще никаким боком.

>>эллипс

Закрой математический справочник и иди выучи хоть что-то.

mclaudt (24.01.2011 12:08:57)

да это понятно... я уже ниже написал

namezys (24.01.2011 12:13:00)

>>Поэтому до сих пор неизвестно какая геометрия ближе к нашему миру. Может быть и так, что они верны обе. При расчете малых расстояний на земле, она ведет себя как плоскость, а больших как шар.

К применимости к реальному миру той или иной геометрии этот чисто умозрительный "парадокс" не имеет никакого отношения.

Адекватный человек никогда не станет называть геометрию Геометрией. Простыня без единой формулы с вкраплениями имен собственных типа Число, Сфера, Единица, Стрела - гарантия сумасбродства автора.

mclaudt (24.01.2011 12:18:58)